Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 59*. Многогранники.

Большинство минералов имеет кристаллическое строение в виде различных многогранников.

С древнейших времен в техническом творчестве человека преобладают простейшие пространственные формы в виде многогранников; примерами этого могут служить египетские пирамиды, многие башни, здания и различные инженерные сооружения.

Дадим общее определение выпуклого многогранника.

Множество точек пространства называется ограниченным, если существует число М такое, что | АВ | < М для любых точек А и В этого множества.

Примерами ограниченных множеств являются шар, цилиндр, конус, пирамида, призма; любое множество точек пространства, являющееся объединением или пересечением конечного числа указанных выше множеств, очевидно, будет тоже ограниченным множеством.

Точка М пространства называется граничной точкой множества, если в любом шаре с центром в точке М содержатся как точки, принадлежащие этому множеству, так и точки, не принадлежащие ему. Множество всех граничных точек данного множества называется его границей.

Множество называется замкнутым, если оно содержит все граничные точки. Множество называется открытым, если ни одна из граничных точек не принадлежит ему.

Примерами замкнутых множеств являются полупространство, двугранный угол, шар. Границами этих множеств являются соответственно плоскость, объединение двух полуплоскостей, сфера.

Множество точек пространства называется выпуклым, если для любых двух его точек отрезок, соединяющий их, принадлежит этому множеству.

Примерами выпуклых множеств являются шар, цилиндр, треугольная пирамида, полупространство, трехгранный угол. Из них шар, цилиндр и треугольная пирамида являются, кроме того, и ограниченными множествами. Полупространство и двугранный угол являются неограниченными множествами.

Открытое ограниченное выпуклое множество точек пространства называется открытым выпуклым многогранником, если его границей является объединение конечного числа многоугольников, называемых гранями данного многогранника.

Объединение открытого выпуклого многогранника и его границы называется замкнутым выпуклым многогранником или просто выпуклым многогранником.

Граница многогранника называется поверхностью многогранника. Площадь поверхности многогранника равна сумме площадей всех его граней.