|
|
|
Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники § 60*. Правильные многогранники. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — правильные конгруэнтные многоугольники, а все его многогранные углы конгруэнтные и правильные. Из определения следует, что у правильного многогранника все двугранные углы конгруэнтны, все плоские углы конгруэнтны и все его ребра конгруэнтны. Можно доказать теорему: В любой правильный многогранник можно вписать сферу, и около любого правильного многогранника можно описать сферу, причем центры этих сфер совпадают. Общий центр вписанной и описанной сфер правильного многогранника называется центром этого многогранника. Границей правильного многогранника является замкнутая поверхность, которая представляет собой объединение всех его граней. Правильные многогранники были известны еще в Древней Греции (в V в. до н. э.). Первые упоминания о них были у Платона, с тех пор они и получили название пяти Платоновых тел. Знаменитая книга «Начала» Евклида начиналась описанием построения правильного треугольника и заканчивалась описанием пяти правильных многогранных тел. Правильные многогранники до сего времени сохранили свои греческие названия. 1. Куб. Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz заданы своими уравнениями шесть плоскостей: х = 0 и х = а, у = 0 и у = а, z = 0 и z = а. Рассмотрим пересечение шести полупространств: х > 0 и х < а, у > 0 и у < а, z > 0 , z < а. Легко видеть, что пересечением шести полупространств будет куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 191).
Граница этого многогранника состоит из шести конгруэнтных квадратов; многогранные углы при каждой вершине трехгранные и конгруэнтные, все плоские углы его конгруэнтны и все двугранные углы конгруэнтны. Следовательно, полученный многогранник правильный. Он называется правильным гексаэдром или кубом («гексаэдр» в переводе с греческого означает «шестигранник»). Отметим, что любой параллелепипед — гексаэдр. 2. Правильный тетраэдр. У куба ABCDA1B1C1D1 вершины А, B1, С, D1 не лежат в одной плоскости, а следовательно, являются вершинами некоторого тетраэдра. Легко видеть, что границей полученного тетраэдра АB1СD1 являются четыре конгруэнтных правильных треугольника (рис. 192): /\ AB1C
(так как все их стороны являются диагоналями конгруэнтных квадратов). Многогранные углы при каждой вершине тетраэдра трехгранные и конгруэнтные; все плоские углы и все двугранные углы конгруэнтны. Следовательно, полученный многогранник правильный. Он называется правильным тетраэдром. 3. Правильный октаэдр. В прямоугольной системе координат построим шесть точек: А(а; 0; 0), В(0; а; 0), С(—а; 0; 0), D(0; —а; 0), M(0; 0; а) и N(0; 0; —а). Каждая тройка точек (M, А, В), (М, В, С), (M, С, D), (M, D, A), (N, А, В), (N, В, C),
Пересечением восьми полупространств, ограниченных плоскостями (МАВ), (МВС),..., (NDA) и содержащих точку О, будет восьмигранник MABCDN. Граница его состоит из восьми правильных конгруэнтных треугольников (стороны их конгруэнтны, как гипотенузы конгруэнтных прямоугольных треугольников). Все его многогранные углы четырехгранные, правильные и конгруэнтные. Следовательно, полученный восьмигранник правильный. Такой восьмигранник называется правильным октаэдром («октаэдр» означает «восьмигранник»). Октаэдры бывают и неправильные, например правильная четырехугольная бипирамида (рис. 194) (у правильной четырехугольной бипирамиды все грани — равнобедренные треугольники) .
4. Правильный икосаэдр. Граница этого многогранника состоит из двадцати правильных конгруэнтных треугольников (рис. 195).
Правильный икосаэдр имеет двенадцать конгруэнтных пятигранных правильных углов. Все его двугранные углы конгруэнтны, и все его плоские углы конгруэнтны («икосаэдр» в переводе с греческого означает «двадцатигранник»). 5. Правильный додекаэдр. Граница этого многогранника состоит из двенадцати правильных конгруэнтных пятиугольников (рис. 196).
Правильный додекаэдр имеет двадцать конгруэнтных трехгранных правильных углов. Все его двугранные углы конгруэнтны и все плоские углы конгруэнтны («додекаэдр» в переводе с греческого означает «двенадцатигранник»). Доказано, что правильных выпуклых многогранников только пять. |
/\ ACD1 
