Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

Задачи к главе IV

4.1. Сколько плоскостей в пространстве можно провести: а) через точку; б) через две различные точки; в) через три различные точки, не лежащие на одной прямой; г) через три различные точки; д) через четыре точки?

4.2. Сколько плоскостей в пространстве можно провести: а) через одну прямую; б) через две пересекающиеся прямые; в) через две произвольные прямые?

4.3. Сколько плоскостей в пространстве можно провести: а) через прямую и точку; б) через две пересекающиеся прямые и точку?

4.4. В пространстве даны четыре точки, никакие три из них не принадлежат одной прямой. Через каждую пару данных точек проведена прямая. Сколько можно провести таких прямых?

4.5. В пространстве даны четыре точки, никакие три из них не принадлежат одной прямой. Через каждые три из этих точек проведена плоскость. Сколько можно провести таких плоскостей?

4.6. Верно ли утверждение: если прямая  l1 пересекает прямую l2, а прямая l2 пересекает прямую l3, то прямая l1 пересекает прямую l3?

4.7. Верно ли утверждение: если прямые l1, l2 скрещивающиеся и прямые l2, l3 скрещивающиеся, то l1  и l3 скрещивающиеся?

4.8. Сколько пар скрещивающихся ребер, т. е. ребер, лежащих на скрещивающихся прямых, имеется в треугольной пирамиде?

4.9. Сколько пар параллельных и скрещивающихся ребер имеется в параллелепипеде?

4.10. Доказать, что через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.

4.11. Как построить прямую, скрещивающуюся:

а) с каждой из двух пересекающихся прямых;

б) с каждой из двух параллельных прямых?

4.12. Сколько плоскостей, параллельных прямой l, можно провести через данную вне этой прямой точку А?

4.13. Прямая l параллельна плоскости р. Сколько прямых, параллельных прямой l, можно провести в плоскости р? Каково взаимное расположение всех этих прямых?

4.14. Известно, что прямая l параллельна прямой т, которая параллельна плоскости р. Будет ли прямая l параллельна плоскости р?

4.15. Пусть прямые l и т параллельны, и через каждую из них проведено по одной плоскости. Доказать, если эти плоскости пересекаются, то прямая их пересечения параллельна прямым l и т.

4.16. Доказать, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

4.17. Докажите, что если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

4.18. Докажите, что если плоскость р1 параллельна плоскости р2, а р2 параллельна плоскости р3, то р1 параллельна р3. (Свойство транзитивности.)

4.19. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, имеют равные длины.

4.20. Постройте плоскость, проходящую через данную прямую l, параллельно прямой т (прямые l и т скрещивающиеся).

4.21. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми: a) AD и ВВ1 б) AD и A1D1)в) АС и В1D1  г) АС и A1D1  .

4.22. Докажите, что если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то эти прямые параллельны.

4.23. Докажите, что если две плоскости перпендикулярны одной прямой, то эти плоскости параллельны.

4.24. Отрезки АВ и ВС —стороны квадрата ABCD. Через прямые АВ и ВС проведены соответственно плоскости  р1 и  р2. Прямая l — линия пересечения плоскостей  р1и  р2, причем l _|_ (АВ). Докажите, что (АВ) _|_  р2.

4.25. Точка О — центр квадрата со стороной т. Отрезок ОМ перпендикулярен плоскости квадрата, |ОМ| =  m/2. Найдите расстояние от точки М до вершины квадрата.

4.26. Найдите расстояние от точки М до плоскости равностороннего треугольника, если сторона этого треугольника равна 3 √3  см, а расстояние от точки до каждой из вершин треугольника равно 5 см.

4.27. Найдите множество всех точек пространства, равноудаленных от трех данных точек.

4.28. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC катеты равны а см. Из вершины прямого угла С проведен к плоскости /\  ABC перпендикуляр CD, причем
| CD | = 2а см. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы АВ.

4.29. Катеты прямоугольного треугольника ABC равны 4 см и 3 см. Через вершину прямого угла С треугольника проведен перпендикуляр п к плоскости ABC. Найдите расстояние от точки М  n  до гипотенузы треугольника, если | МС | = 2,6 см.

4.30. Если грани одного двугранного угла служат продолжением граней другого, то такие двугранные углы называются вертикальными. Докажите, что вертикальные двугранные углы конгруэнтны.

4.31. Из точки М окружности проведен к плоскости круга, ограниченного этой окружностью, перпендикуляр МА. Из точки M проведен диаметр MB; [ВС] — произвольная хорда. Точка А соединена с точками В и С. Определите вид треугольника ABC.

4.32. Докажите, что если плоскости р и q перпендикулярны, а прямая 1  р  перпендикулярна прямой т = p   q, то 1 _|_ q.

4.33. Пусть даны три попарно пересекающиеся плоскости р, q, r. Докажите, что если
р _|_ r  и  q _|_ r, то прямая т = p   q перпендикулярна плоскости r.

4.34. Докажите, что если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой плоскости.

4.35. Полуплоскость, имеющая своим ребром ребро двугранного угла и делящая его на две конгруэнтные части, называется биссекторной. Докажите, что биссекторные полуплоскости двух смежных углов перпендикулярны между собой.

4.36. На модели куба ABCDA1B1C1D1  укажите проекции следующих фигур на плоскость грани АА1В1В: [C1D1], [AD], [C1D], [DB1], /\  С1СВ, /\  ACD, квадрата BB1C1C.

4.37. Дан куб ABCDA1B1C1D1. а) Найдите проекцию точки M  [B1C1] на плоскости граней ABCD, AA1D1D, AA1B1B. б) Найдите проекцию точки N = [DС1]  [СD1] на плоскости указанных граней.

4.38. Каковы проекции двух прямых l1  и l2 на плоскость р, если:

а) прямые  l1  и l2 пересекаются;

б) прямые  l1  и l2 скрещиваются;

в) прямые  l1  и l2 параллельны. Рассмотрите все возможные случаи.

4.39. Точки А и В принадлежат плоскости р; конгруэнтные отрезки АА1 и BB1 перпендикулярны плоскости р и расположены по разные стороны от нее. Найдите величины углов четырехугольника AA1ВВ1, если |AA1| = |АВ|.

4.40. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна т, величина его острого угла 60°. Найдите площадь проекции этого треугольника на плоскость, составляющую с плоскостью треугольника угол 30°.

4.41. Стороны треугольника равны 3,9 см, 4,1 см и 2,8 см. Найдите площадь его проекции на плоскость, составляющую с плоскостью треугольника угол 60°.

4.42. Постройте сечение куба AВСDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки М, N и К, если

М = А1, | ND1 | = | ND |, | DK | == 2| KС |, N  [DD1],  K [DС].

4.43. Постройте сечение куба ABCDA'B'C'D' с ребром а плоскостью, проходящей через середины ребер [AD] и [В'С'] и вершины А' и С. Найдите площадь сечения.

4.44. Постройте сечение куба плоскостью так, чтобы оно было правильным шестиугольником.

4.45. В тетраэдре МАВС проведите сечения через середину ребра [АВ] параллельно ребрам: а) [АС] и [AM]; б) [ВС] и [СМ]; в) [ВС] и [АМ].

4.46. Найдите площадь сечения, проведенного через середины двух смежных боковых ребер правильной четырехугольной пирамиды со стороной а и высотой h перпендикулярно основанию пирамиды.

4.47. Существует ли трехгранный угол, плоские углы которого равны: а) 120°, 97°, 33°;
б) 120°, 120°, 130°; в) 108°, 92°, 160°; г) 157°, 82°, 64°.

4.48. В трехгранном угле два плоских угла по 45°, а двугранный угол между ними — 90°. Найдите третий плоский угол.

4.49. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3√2 см и 14 см, угол между ними 135°, боковое ребро 12 см. Найдите диагонали параллелепипеда.

4.50. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 9 см; полная поверхность призмы 144 см2. Найдите сторону основания и боковое ребро призмы.

4.51. Полная поверхность прямоугольного параллелепипеда равна 352 см2. Найдите его измерения, если они относятся, как 1:2:3.

4.52. Ребро куба равно а. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через концы ребер, выходящих из одной вершины.

4.53. Ребро куба равно а. Найдите длину отрезка, соединяющего середины двух скрещивающихся ребер.

4.54. В  правильной  четырехугольной  пирамиде  MABCD  сторона основания равна а, апофема пирамиды равна 3/2 а. Найдите высоту пирамиды.

4.55. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно т, а плоский угол при вершине равен β .

4.56. Дана пирамида, высота которой равна 16 м, а площадь основания 512 м2. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проведенной параллельно основанию на расстоянии 5 м от вершины.

4.57. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 14 см, а площадь диагонального сечения 14 см2.

4.58. Ромб с диагоналями 12 см и 16 см служит основанием пирамиды. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей и равна 6,4 см. Найдите полную поверхность пирамиды.

4.59. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 28 см, а боковое ребро
36 см. Найдите сторону основания.

4.60. Докажите, что боковое ребро правильной треугольной пирамиды перпендикулярно противоположному ребру основания.

4.61. Докажите, что боковая поверхность правильной пирамиды равна площади основания, деленной на косинус угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания.

4.62 У двух правильных многогранников ребра равны, а площади поверхностей относятся, как √3  : 6. Определите эти многогранники.

4.63. Если обозначить ребро правильного многогранника через а, то площадь его поверхности равна S = 5a2√3 . Определите многогранник.

4.64. Найдите двугранный угол между гранями правильного тетраэдра.

4.65. Найдите двугранный угол между соседними гранями правильного октаэдра.

4.66. Точки M, A, В и С не принадлежат одной плоскости; (MA) _|_ (BС),
(MB) _|_ (AC). Докажите, что (МС) _|_ (АВ).

4.67. На точку A действуют силы F1, F2, F3, причем | F1 ] = 3 Н, | F2 | = 4 Н и | F3 | = 5 Н. Величина угла между силами F1 и F2 равна 60°, а сила F3 перпендикулярна каждой из них. Найдите величину равнодействующей.

ОТВЕТЫ
Используются технологии uCoz