Глава V*. Уравнения   прямых  и  плокостей  в  пространстве.

§ 61. Уравнения прямой

Пусть l — некоторая прямая пространства. Как и в планиметрии (§ 27), любой вектор
а =/= 0, коллинеарный прямой l, называется направляющим  вектором, этой прямой.
Положение прямой в пространстве полностью определяется заданием направляющего вектора и точки, принадлежащей прямой.

Пусть прямая l с направляющим вектором а проходит через точку M₀ , а М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М (рис. 197) принадлежит прямой l тогда и только тогда, когда вектор M₀M^> коллинеарен вектору а, т. е.

M₀M^> = ta,      t  R. (1)

Если точки М и M₀ заданы своими радиус-векторами r и r₀ (рис. 198) относительно некоторой точки О пространства, то M₀M^> = r — r₀, и уравнение (1) принимает вид

r = r₀ + ta,        t  R.     (2)

Уравнения (1) и (2) называются векторно-параметрическими уравнениями прямой. Переменная t в векторно-параметрических уравнениях прямой называется параметром.

Пусть точка M₀ прямой l и направляющий вектор а заданы своими координатами:

M₀(х₀; у₀, z₀),    а = (а₁ ; а₂; а₃).

Тогда, если (х; у; z) — координаты произвольной точки М прямой l, то

M₀M^> = (х — х₀; у — у₀ ; z — z₀)

и векторное уравнение (1) равносильно следующим трем уравнениям:

х — х₀ = tа₁,    у — у₀ = tа₂,   z — z₀ = tа₃

или

    (3)

Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Задача 1. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
M₀(—3; 2; 4) и имеющей направляющий вектор а = (2; —5; 3).

В данном случае х₀ = —3, у₀ = 2, z₀ = 4; а₁ = 2; а₂ = —5; а₃ = 3. Подставив эти значения в формулы (3), получим параметрические уравнения данной прямой

Исключим параметр t из уравнений (3). Это можно сделать, так как а =/= 0, и поэтому одна из координат вектора а заведомо отлична от нуля.

Пусть сначала все координаты отличны от нуля. Тогда

и, следовательно,

         (4)

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Заметим, что уравнения (4) образуют систему двух yравнений с тремя переменными х, у и z.

Если в уравнениях (3) одна из координат вектора а, например а₁ равна нулю, то, исключив параметр t, снова получим систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z:

Эти уравнения также называются каноническими уравнениями прямой. Для единообразия их также условно записывают в виде (4)

,

считая, что если знаменатель равен нулю, то равен нулю и соответствующий числитель. Эти уравнения являются уравнениями прямой, проходящей через точку  M₀(х₀; у₀, z₀) параллельно координатной плоскости yOz, так как этой плоскости параллелен ее направляющий вектор (0; а₂; а₃).

Наконец, если в уравнениях (3) две координаты вектора а, например а₁ и а₂ равны нулю, то эти уравнения принимают вид

х = х₀,   y = у₀,   z = z₀ + ta₃,       t  R.

Это уравнения прямой, проходящей через точку  M₀(х₀; у₀; z₀) параллельно оси Oz. Для такой прямой х = х₀,   y = у₀,  a z — любое число. И в этом случае для единообразия уравнения прямой можно записывать (с той же оговоркой) в виде (4)

Таким образом, для любой прямой пространства можно написать канонические уравнения (4), и, наоборот, любое уравнение вида (4) при условии, что хотя бы один из коэффициентов а₁ , а₂ , а₃ не равен нулю, задает некоторую прямую пространства.

Задача 2. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку
M₀(— 1; 1, 7) параллельно вектору а = (1; 2; 3).

Уравнения (4) в данном случае записываются слeдующим образом:

Выведем уравнения прямой, проходящей через две данные точки M₁(х₁; у₁; z₁) и
M₂(х₂; у₂; z₂). Очевидно, что за направляющий вектор этой прямой можно взять вектор a = (х₂ — х₁; у₂ — у₁; z₂ — z₁), а за точку М₀, через которую проходит прямая, например, точку M₁. Тогда уравнения (4) запишутся так:

       (5)

Это и есть уравнения прямой, проходящей через две точки M₁(х₁; у₁; z₁) и
M₂(х₂; у₂ ; z₂).

Задача 3. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M₁(—4; 1; —3) и
M₂(—5; 0; 3).

В данном случае х₁ = —4, у₁ = 1,  z₁= —3, х₂ =  —5, у₂ = 0,  z₂ = 3. Подставив эти значения в формулы (5), получим

Задача 4. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M₁(3; —2; 1) и
M₂ (5; —2; ¹/₂).

После подстановки координат точек M₁ и M₂ в уравнения (5) получим