Глава V*. Уравнения   прямых  и  плокостей  в  пространстве.

§ 62. Уравнение плоскости,  проходящей через три данные  точки,
          не лежащие на одной прямой

Пусть точки M₁, M₂, M₃ не лежат на одной прямой. Как известно, три такие точки однозначно определяют некоторую плоскость р (рис. 199).

Выведем уравнение плоскости р. Пусть М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости р тогда и только тогда, когда векторы
M₁M^>, M₁M₂^>, M₁M₃^>компланарны. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения (§ 23*, теорема 2). Поэтому уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой, может быть записано следующим образом:

(M₁M^>, M₁M₂^>, M₁M₃^>) = 0.            (1)

Если точки M₁, M₂ и M₃ заданы координатами в некоторой прямоугольной декартовой системе координат, то уравнение (1) можно записать в координатах.
Пусть M₁(x₁; y₁; z₁), M₂(х₂; у₂; z₂), M₃(х₃; у₃; z₃) — данные точки. Обозначим координаты произвольной точки М плоскости р через х, у и z. Найдем координаты векторов, входящих в уравнение (1):

M₁M^> = (х — х₁; у — у₁; z — z₁),

M₁M₂^> = (x₂ — x₁ ; y₂ — y₁; z₂ — z₁),

M₁M₃^> = (x₃ — x₁; у₃ — y₁; z₃ — z₁).

Смешанное произведение трех векторов равно определителю третьего порядка, в строках которого стоят координаты векторов (см. § 24*). Следовательно, уравнение (1) в координатах имеет вид

         (2)

Найдем уравнение плоскости, проходящей через три точки А (а; 0; 0), В(0; b; 0), С(0; 0;с), у которых а =/= 0, b =/= 0, c =/= 0. Эти точки лежат на осях координат (рис. 200).

Полагая в уравнении (2) x₁= а, у₁= 0, z₁= 0, x₂= 0, у₂= b, z₂= 0, x₃ = 0, у₃ = 0, z₃ = с, получим

Разложив определитель по элементам первой строки, получим уравнение

bc (х — a) + acy + abz = 0

или

bcx + асу + abz = abc,

^x/_a  +  ^y/_b  +  ^z/_c = 1.      (3)

Уравнение (3) называется уравнением плоскости в отрезках, так как числа a, b и с указывают, какие отрезки отсекает плоскость на осях координат.

Задача. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
M₁(—1; 4; —1), M₂(—13; 2; —10), M₃(6; 0; 12). Упростить полученное уравнение. Получить уравнение данной плоскости в отрезках.

Уравнение (2) в данном случае записывается следующим образом:

Это и есть уравнение данной плоскости. Разложив определитель по первой строке, получим

— 62(х + 1) +93(y —4)+ 62 (z + 1) = 0,

откуда

— 2x + 3y + 2z — 12 = 0.

Разделив почленно на 12 и перенеся свободный член уравнения в правую часть, получим уравнение данной плоскости в отрезках

Из уравнения видно, что данная плоскость отсекает на осях координат отрезки, длины которых равны соответственно 6, 4 и 6. Ось Ох пересекается плоскостью в точке с отрицательной абсциссой, ось Оу — в точке с положительной ординатой, ось Оz — в точке с положительной апликатой.