Глава V*. Уравнения   прямых  и  плокостей  в  пространстве.

§ 66. Условия совпадения и пересечения плоскостей

Если плоскости р₁ и р₂ , заданные уравнениями

А₁х + B₁y + C₁z + D₁ = 0   и   А₂х + B₂y + C₂z + D₂ = 0,        (1)

имеют общую точку, то ее координаты удовлетворяют каждому из уравнений (1). Поэтому для нахождения общих точек данных плоскостей нужно решить систему уравнений

         (2)

т. е. систему двух уравнений с тремя неизвестными. При выполнении условия

              (3)

система (2) решений не имеет. В самом деле, предположим противное.
Допустим, что (х₀; у₀, z₀) — решение системы. Тогда, если

то из второго уравнения системы (2) получаем

А₂х₀ + B₂у₀ + C₂z₀ = — D₂,

а из первого

k (А₂х₀ + B₂у₀ + C₂z₀) = — D₁,

и,   следовательно,  ,   что   противоречит  уеловию (3).

Мы знаем, что условие  есть условие параллельности плоскостей. Таким образом, при выполнении условия (3) плоскости р₁ и р₂ параллельны и не совпадают.

В случае, когда коэффициенты и свободные члены системы (2) удовлетворяют условию

            (4)

система имеет вид

Каждое из уравнений системы определяет одну и ту же плоскость. Таким образом, условие (4) есть необходимое и достаточное условие совпадения плоскостей.

Если плоскости р₁ и р₂ не параллельны, т. е. если они пересекаются, то

В этом случае уравнения (2) являются уравнениями прямой l пересечения плоскостей  р₁ и р₂ . Покажем, как можно найти канонические уравнения этой прямой. Чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно знать координаты ее некоторой точки и координаты ее направляющего вектора а. За координаты точки M₀ можно взять любое решение системы (2). В качестве направляющего вектора а прямой l можно взять векторное произведение векторов n₁ = (A₁; B₁; С₁) и n₂ = (A₂; B₂; С₂), т. е. нормальных векторов плоскостей р₁ и р₂ .

В самом деле (рис. 203), вектор [n₁; n₂] по определению векторного произведения перпендикулярен векторам n₁ и n₂ и поэтому параллелен плоскостям р₁ и р₂ и, следовательно, коллинеарен прямой l их пересечения.

Задача 1. Составить канонические уравнения прямой, являющейся пересечением плоскостей

х — 2у + z + 1 = 0 и 2х — у + 3z — 2 = 0.

Так как n₁= (1; — 2; 1), n₂ = (2; —1; 3), то

Для определения координат какой-либо точки данной прямой найдем какое-либо решение системы уравнений

Положим, например, z = 0, тогда получим

откуда х =  ⁵/₃, y =  ⁴/₃. Следовательно, исходная система имеет решение ( ⁵/₃ ; ⁴/₃ ; 0 ), и поэтому данная прямая проходит через точку М ( ⁵/₃ ; ⁴/₃ ; 0 ).

Зная координаты точки прямой и координаты ее направляющего вектора, записываем канонические уравнения данной прямой

Заметим, что если плоскости А₁х + B₁y + C₁z + D₁ = 0   и   А₂х + B₂y + C₂z + D₂ = 0 пересекаются, то уравнение всякой плоскости, проходящей через прямую их пересечения, может быть записано в виде

α (А₁х + B₁y + C₁z + D₁) + β(А₂х + B₂y + C₂z + D₂) = 0,

где α и β — некоторые числа.

Задача 2. Составить уравнение плоскости, поpоходящей через прямую пересечения плоскостей  3x — 2у —  z + 4 = 0   и   х — 4у — 3z — 2 = 0 и точку M₀ (1; 1; — 2).

Составим уравнение плоскостей, проходящих через прямую пересечения данных плоскостей:

α (3x — 2у —  z + 4) + β(х — 4у — 3z — 2) = 0.

Так как M₀принадлежит искомой плоскости, то

α (3 •1  — 2 • 1 + 2 + 4) + β(1— 4 • 1 + 6 —2) = 0,

и, следовательно,

7α  + β = 0,

откуда, например, α  = 1, β = —7.

Искомым уравнением плоскости будет

3x — 2у —  z + 4 — 7 (х — 4у — 3z — 2) = 0,

или

2x — 13у — 10z — 9 = 0.