Глава V*. Уравнения   прямых  и  плокостей  в  пространстве.

§ 67. Нормированное уравнение плоскости

Пусть q — произвольная плоскость (рис. 204).

Обозначим через р расстояние от начала координат до плоскости q, а через α , β , γ  — углы между нормальным вектором п плоскости q и осями координат. Очевидно, что положение плоскости в пространстве полностью определяется заданием величин α , β , γ  и р. Выразим уравнение плоскости q через эти величины.

Пусть M₀ — точка пересечения плоскости q и перпендикулярной ей прямой, проходящей через начало координат, п₀ — единичный нормальный вектор плоскости q. Координаты точки M₀ и вектора п₀ выражаются через заданные величины α , β , γ  и р следующим образом:

M₀ (р cos α; р cos β; р cos γ),     п₀ = (cos α;  cos β;  cos γ).

В § 6Зполучили уравнение плоскости, проходящей через точку (х₀; у₀, z₀) и имеющей нормальный вектор (A; В; С):

А(х—х₀) + В(у—у₀) + C(z—z₀) = 0.

Подставив в это уравнение координаты точки M₀ и вектора п₀ , получим уравнение плоскости q

cos α (х — р cos α) + cos β (у — р cos β) + cos γ (z — р cos γ) = 0

или

х cos α + у cos β + z cos γ — р (cos²α + cos²β + cos²γ) = 0.

Так как cos α;  cos β;  cos γ — координаты единичного вектора п₀, то
cos²α + cos²β + cos²γ = 1 и, следовательно,

х cos α + у cos β + z cos γ — р = 0.      (1)

Уравнение (1) называется нормированным уравнением плоскости. В этом уравнении коэффициенты при переменных х, у и z — это координаты единичного нормального вектора плоскости, а свободный член (— р) равен расстоянию от начала координат до плоскости, взятому со знаком «минус».

Например, уравнение √2 x — y — z + 20 = 0 не является нормированным, так как вектор (√2 ; — 1; — 1) не единичный и свободный член уравнения положителен.

Умножим обе части данного уравнения на (—¹/₂).

Полученное уравнение

— ^√2/₂ x +  ¹/₂ y  +  ¹/₂ z — 10  = 0

является нормированным, так как вектор ( — ^√2/₂; ¹/₂; ¹/₂), как легко проверить, единичный, а свободный член уравнения отрицателен. Нормальный вектор рассматриваемой плоскости образует с осями координат углы α , β и γ  такие, что

cos α  =  — ^√2/₂ ,  cos β = ¹/₂,   cos γ = ¹/₂.

т. е. α = 135°, β = γ = 60°. Плоскость проходит на расстоянии 10 единиц длины от начала координат.

Общее уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0

всегда можно преобразовать так, чтобы оно стало нормированным. Для этого нужно умножить обе части уравнения на нормирующий множитель , если D < 0  и    — , если D > 0.

Действительно, если D < 0, то уравнение

является нормированным, так как вектор

единичный и  .    Если D > 0, то уравнение

является нормированным.

Задача. Вычислить расстояние от начала координат до плоскости  
4х + √11 у + 3z + 150 = 0.

Так как D = 150 > 0, то нормирующий множитель равен

Нормированным уравнением данной плоскости будет уравнение

— ²/₃ x   — ^√11/₆  y   — ¹/₂ z — 25 = 0.

Учитывая геометрический смысл свободного члена нормированного уравнения плоскости, получаем, что искомое расстояние равно 25.