Глава V*. Уравнения   прямых  и  плокостей  в  пространстве.

§ 70. Условия  параллельности  и  перпендикулярности двух прямых.

Прямые с направляющими векторами а и b:

а) параллельны тогда и только тогда, когда векторы а и b коллинеарны;

б) перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы а и b перпендикулярны, т. е. когда а • b = 0.

Отсюда получаем необходимые и достаточные условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных каноническими уравнениями.

Для того чтобы прямые

были параллельны, необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие

В случае, если какое-либо из чисел b₁, b₂, b₃ равно нулю, то должно обращаться в нуль соответствующее ему число a₁, a₂, a₃.

Для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0.      (2)

Задача 1. Среди следующих пар прямых указать пары параллельных или перпендикулярных прямых:

а) Направляющие векторы a = (2; 4; —13) и b = (3; 5; 2) очевидно, не коллинеарны.   Следовательно, прямые не параллельны. Проверим условие перпендикулярности

a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃  = 2 • 3 + 4 • 5 — 13 • 2 = 0.

Прямые перпендикулярны.

б) Направляющий вектор второй прямой имеет координаты b = (3; 2; 4). За направляющий вектор первой примой можно взять векторное произведение нормальных векторов
n₁ = (2; —3; 0) и n₂ = (4; —2; —2) плоскостей, задающих эту прямую:

Условие (1) выполняется, так как ⁶/₃ = ⁴/₂= ⁸/₄   . Прямые параллельны.

в) Направляющий вектор первой прямой имеет координаты а = (2; 3; 1). Уравнения второй прямой легко приводятся к каноническому виду

Следовательно, b =( — ¹/₂; 1; ³/₂) .

Векторы а и b не параллельны. Они и не перпендикулярны, так как

a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 2 (— ¹/₂) + 3 + ³/₂ =/= 0.

Данные прямые не параллельны и не перпендикулярны.

Задача 2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М₀(2; —3; 4) перпендикулярно прямым

Пусть вектор (а; b; с) — направляющий вектор искомой прямой. Тогда ее уравнения имеют вид

Используя условие (2) перпендикулярности прямых, получим систему двух уравнений относительно неизвестных а, b и с:

Эта система легко решается. Ее решение

(— ^4c/₃ ; — ^c/₃ ; с)'

где с — произвольное число. Следовательно, уравнения искомой прямой имеют вид

Откуда