Глава V*. Уравнения   прямых  и  плокостей  в  пространстве.

Задачи к  главе  V

5.1. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Запишите через векторы
AB^> = r₁,   AD^> = r₂,   AA₁^>  = r₃ векторно-параметрические уравнения прямых:
а) АС₁ б) СА₁; в) BD₁; г) DB₁; д) CD₁.

5.2. Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М₀ и имеющей направляющий вектор а, если:

а) М₀ (1; 2; 3),            а (2; —2; 1);

б) М₀ (3; —2; 0),       а (1 ; —1; √2 ) ;

в) М₀ (¹/₂; ¹/₃; ¹/₄),     а(0; 3; 5).

5.3. Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀ и имеющей направляющий вектор а, если:

а) М₀ (—2; 0; 1),    а (2; —3; 4);

б) М₀ (2; —1; 0),    а (√3 ; √2 ; l);

в) М₀ (3; 0; —3),    а (0; 1; 0).

5.4. Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точки М₁ и М₂, если:

а) М₁ (3: —1; 0),    М₂ (—2; —5; 4):

б) М₁ (1; —1; 4),    М₂ (4;—1;2);

в) М₁ (0; 1; —5),    М₂ (—2; 1; —5).

5.5. Дан треугольник с вершинами в точках A(1; —2; —4), В(1; 6; —8), С(—7; 11; 6). Отрезок СМ — медиана треугольника. Напишите параметрические и канонические уравнения прямой СМ.

5.6. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки М₁, М₂, М₃, если:

а) М₁ (—2; 3; 5),    М₂ (4; —3; 0),    М₃ (0; 6; —5);

б) М₁ (2; 0: 4),       М₂ (3; 1; —2),    М₃ (0; —3; —1);

в) М₁ (3; 1; —5),    М₂ (8; 3; 3),      М₃ (—2; —1; 4).

Напишите для каждой плоскости уравнение в отрезках.

5.7. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ и перпендикулярной вектору n, если:

а) М₀ (2; 3; 5), n = (4; 6; 0);

б) М₀ (3;  —5;  —2),    n = (4; —6; 1);

в) М₀ (0; 0; 0), n = (0;  —7; 4);

г) M₀(1; 2; 3), n = (0; 1; 0).

5.8. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку М₀ параллельно заданной плоскости, если:

а) M₀(1; —5; 4),     4x — 7z + 6 = 0;

б) M₀(3; 4; —11),    z = 0;

в) M₀(2; —1; 3),     ^x/₂ —  ^y/₇ + ^z/₂=1.

5.9. Найдите уравнение плоскости, которая проходит через точку M₀(1; 2; 4) и ось абсцисс.

5.10. Найдите уравнение плоскости, которая проходит через точки M₁(2; —1; 1) и M₂(0; 1; 2) параллельно оси ординат.

5.11. Вычислите площадь треугольника, который отсекается от координатного угла уОz плоскостью 2х — 3y + 6z — 24 = 0.

5. 12. Вычислите угол между плоскостями:

а) х — 4у — 8z + 1 = 0   и   х + 20у + 7z = 0;

б) 6х + 3у — 2z — 7 = 0  и   х + 2y + 6z — 5 = 0;

в) 8х + 4y + z = 0 и   2х — 2у + z + 13 = 0;

г)   х — z — 7 = 0 и   y — z + 5 = 0.

5.13. Установите, какие из следующих пар плоскостей параллельны, перпендикулярны, совпадают:

а) 2x + 3y + 4z — 12 = 0    и  6x + 9y + 12z —  12 = 0;

б) 3x+ 4y — z + 1 = 0         и    x — 2y — 5z + 3 = 0;

в) 2x + 3y — 4z = 0            и   2x + y + z — 13 = 0;

г) 10x—12y + 6z—240 = 0     и        ^x/₂₄ —  ^y/₂₀ + ^z/₄₀=1.

5.14. Установите, при каких значениях k перпендикулярны следующие плоскости:

а) 3x + ky + 4z — 5 = 0  и   4x — 3y + 4z + 2 = 0;

б) 3x + 4y + kz — 6 = 0   и   4x — 3y + 4z + 1= 0;

в) kx + 4y + 3z — 4 = 0  и   3y — 4z + 3 = 0.

5.15. Установите, при каких значениях α  и β параллельны следующие плоскости:

а) 3x + αy + 4z — 3 = 0  и  4x — 3у + βz + 4 = 0'

б) 3x + αу + 4z — 2 = 0  и   4x + βz + 5 = 0;

в) 3x + у + αz — 1 =0    и  6x + 2у + 10z + β = 0.

5.16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки M₁(3; —2; 1) и M₂(6; 0; 5) и перпендикулярной плоскости х — у + 2z — 4 = 0.

5.17. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(1; 2; 3) и перпендикулярной плоскостям  х — у + z — 7 = 0,   3х + 2y — 12z + 5 = 0.

5.18. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку M₀(3; —2; 1) перпендикулярно плоскостям   3у — 5х + 1 = 0,   х = 0.

5.19. Составьте канонические уравнения прямой пересечения плоскостей
  х — 2у + 3z — 4 = 0   и   3х + 2у — 5z — 4 = 0.

5.20. Найдите канонические уравнения следующих прямых:

5.21. Найдите канонические уравнения прямых, образованных пересечением плоскости 2х — 3у — 4z + 11 = 0 с координатными плоскостями.

5.22. Найдите параметрические уравнения прямой:

5.23. Найдите уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей 2х — 3у + z — 3 = 0,   x + 3y + 2z + 1 = 0 и точку M₀(1; —2; 3).

5.24. Найдите уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения . плоскостей 2х — у + 3z — 5 = 0,   х + 2у — z + 2 = 0 параллельно вектору (2; —1; —2).

5.25. Нормируйте уравнения плоскостей:

а) 3х — 6у+ 2z + 21=0;

б) 5х + 12у + 26 = 0;

в) 2z + 13 = 0.

5.26. Найдите расстояние от начала координат до плоскости:

а) 4х—2у — 4z + 7 = 0;

б) 15х + 16у — 12z — 100 = 0;

в) √2 х + у — z + 32 = 0.

5.27. Найдите расстояние от точки до плоскости:

a) M ( l; 2; 4 ),       2х + 2у — z — 11 =0;

б) М (7; 0; —7),    18х — 6у + 9z  + 14 = 0;

в) М (√5; √12; 2),    у √3 + z  + 20 = 0.

5.28. Вычислите расстояние от точки M(0; 1; —3) до плоскости, проходящей через точки M₁(3; 1; —5), М₂(8; 3; 3), М₃(—2; —1; 4).

5.29. Вычислите расстояние между параллельными плоскостями:

а) 3х — 6у — 2z + 35 = 0 и  6х — 12у — 4z — 5 = 0;

б) 5х + 2у — 3z — 5 = 0 и   10х + 4у — 6z + 5 = 0;

в) 7х — у +  √2 z — 3√2 = 0   и   7√2 х — √2 у + 2z — 6 = 0.

5.30. Вычислите угол между прямыми:

5.31. Установите, какие из следующих пар прямых являются параллельными, какие — перпендикулярными:

5.32 Даны прямые

при каком значении α они перпендикулярны?

5.33. Найдите канонические уравнения прямой, лежащей в плоскости уОz, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой

5.34. Найдите канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(2; —3; 4) перпендикулярно прямым

5.35. Установите, лежат ли прямые в одной плоскости:

5.36. Установите, пересекаются ли прямые:

5.37. Установите, являются ли данные прямые скрещивающимися:

5.38. Вычислите угол между прямой и плоскостью:

5.39. Исследуйте взаимное расположение следующих пар прямых и плоскостей (в случае пересечения прямой и плоскости найдите точку пересечения):

5.40. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку М₀(2; 0; —1) перпендикулярно плоскости 2х + 3у — z + 7 = 0.

5.41. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(7; 9; 11) перпендикулярно прямой    ^x/₁₁ = ^y/₉ = ^z/₇

5.42. При каких значениях  α и β прямая  принадлежит плоскости х — 2у — 4z + 1 = 0?

5.43. Найдите уравнения проекции прямой    на плоскость
3х + 2у — z — 5 = 0.

5.44. Найдите канонические уравнения проекций прямой

на координатные плоскости.

ОТВЕТЫ