Глава VI. Простейшие криволинейные поверхности и тела вращения.

§ 74. Взаимное расположение плоскости  и сферы

Пусть заданы плоскость р и сфера со радиуса R с центром в точке С. Исследуем их взаимное расположение в пространстве.

Через точку С проведем прямую l, перпендикулярную плоскости р. Пусть С₁ — точка пересечения прямой l с плоскостью р.

Если |СС₁ | > R, то сфера со не имеет общих точек с плоскостью р (рис. 213), так как точка C₁ лежит вне шара радиуса R с центром в точке С, а другие точки плоскости р отстоят от точки С дальше, чем точка С₁.

Если  |СС₁ |< R, то плоскость р пересекает сферу со по окружности (рис. 214) с центром в точке С₁ и радиусом

r =  √R² — |СС₁|²  .

Действительно, если М — произвольная точка, принадлежащая р и ω, то из прямоугольного треугольника СС₁М получаем

|С₁M| = √|СM| ² — |СС₁|²   = √R² — |СС₁|²  = r 

Наконец, если |СС₁ | = R, то плоскость р со сферой ω имеет одну общую точку — точку  С₁ (рис. 215).

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к этой сфере, а их общая точка — точкой касания.

Из предыдущего следует, что если |СС₁ |  = R, то плоскость р является касательной плоскостью к сфере ω, причем точка C₁ — точка касания.

По построению плоскость р перпендикулярна  диаметру, проходящему через точку касания С₁.

Теорема. Если плоскость проходит через точку сферы и перпендикулярна диаметру сферы, проходящему через эту точку, то плоскость является касательной к сфере.

Действительно, если М — произвольная точка плоскости р, отличная от точки С₁ (см. рис. 215), то |СМ| > |CC₁|, и поэтому точка М не принадлежит сфере ω.

Следовательно, точка С₁ — единственная общая точка плоскости р и сферы ω, т. е. плоскость р является касательной плоскостью к сфере ω.

Задача 1. Как расположены плоскости, заданные уравнениями х = 3, х = 5 и х = 7 по отношению к сфере

х² + у² + z² = 25?

Данная сфера — это сфера радиуса R = 5 с центром в начале координат О(0; 0; 0).

Первая плоскость отстоит от центра сферы на расстоянии d = 3. Следовательно, она пересекает сферу по окружности радиуса r = √5² — 3²  = 4 с центром в точке (3; 0; 0).

Вторая плоскость отстоит от центра сферы на d = 5. Следовательно, она касается сферы в точке (5; 0; 0).

Третья плоскость отстоит от центра сферы на d = 7 > R. Следовательно, она со сферой не имеет общих точек.

Задача 2. Плоскость у = 3 пересекает сферу

х² + у² + z² — 2x + 2z =16

по некоторой окружности. Найти ее радиус и центр.

Преобразовав уравнение сферы к виду

(х— 1)²+  у² + (z + 1)² = 18

видим, что данная сфера — это сфера радиуса R = √18 , с центром в точке (1; 0; —1).

Плоскость у = 3 отстоит от центра сферы на расстоянии d = 3. Следовательно, она пересекает сферу по окружности радиуса r = √18— 9  = 3 с центром в точке (1;3;—1).