|
|
|
Глава VI. Простейшие криволинейные поверхности и тела вращения. § 77*. Конические поверхности Объединение всех прямых, проходящих через каждую точку данной кривой и некоторую фиксированную точку пространства, не лежащую на этой кривой, называется конической поверхностью. Данная кривая называется направляющей, данная фиксированная точка — вершиной, а прямые — образующими конической поверхности (рис. 233).
Легко видеть, что конические поверхности состоят из двух полостей с общей вершиной. Конические и цилиндрические поверхности обладают замечательным свойством: все они разворачиваются на плоскость без складок и разрывов, и, наоборот, из плоских листов материала, согнув их, можно получать поверхности конической и цилиндрической формы. Благодаря этому свойству они получили большое применение в технике. Выведем уравнение конической поверхности. Если М — произвольная точка этой поверхности, отличная от вершины S, а N — точка пересечения образующей SM с направляющей L, то векторы SM> и SN> коллинеарны. Поэтому существует число λ такое, что SM> = λ SN>. (1) Пусть для простоты кривая L лежит в плоскости хОу и имеет уравнение F(x; y) = 0, (2) а вершина S лежит на оси Oz и имеет координаты (0; 0; с), с =/= 0. Тогда' SM> = (х; у; z — с), SN> = (ξ ; η; — с), где (х; у; z ) — координаты точки М, а (ξ ; η ) — координаты точки N на плоскости хОу. Из векторного равенства (1) получаем следующие равенства для координат: х = λξ, у = λη, z — с = — λс. Отсюда находим
Так как координаты ξ , η удовлетворяют уравнению (2), то координаты (х; у; z) удовлетворяют уравнению
Это и есть уравнение конической поверхности с вершиной в точке S (0; 0; с), с =/= 0, и направляющей F(х; у) = 0. Таким образом, уравнение конической поверхности (3) получается из уравнения направляющей (2) заменой х на Задача. Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке
Данная коническая поверхность имеет уравнение
После соответствующих преобразований получаем искомое уравнение:
|
(3)
и у на 
.
