Глава VI. Простейшие криволинейные поверхности и тела вращения.

Задачи к главе VI

6.1. Напишите уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом R = 6.

6.2. Точка М(—2; 2; 1) лежит на сфере, а центр сферы находится в начале координат. Составьте уравнение сферы.

6.3. Дана сфера х2 + у2 + z2 = 9 и три точки: А(2; —1; 1), B(2; 2; —1), С(—1; —2; 5). Установите, какая из этих точек находится внутри сферы, лежит на сфере, находится вне сферы.

6.4. Найдите центр и радиус сфер:

а) х2+(у —1)2 + (z + 3)2 = 81;

б) (x —2)2+ (у + 4)2 + (z —1)2  = 72.

6.5. Докажите, что следующие уравнения являются уравнениями сфер:

а) х2 + у2 + 2у + z2 + z —1 = 0;

б) х2 + у2 + z2 — 8х + 4у + 2z — 43 = 0.

6.6. Какая фигура является пересечением сферы х2 + у2 + z2 = 1 в плоскости:

а) у = 1;   б) у = 1/2 ;   в) у = 2?

6.7. Какая фигура является пересечением сферы  х2 + у2 + z2  = 10 и плоскости z = 1?

6.8. Плоскость z = — 1 пересекает сферу (х — 1)2 + (у — 2)2 + (z — 3)2 = 25 по некоторой окружности. Найдите ее центр и радиус.

6.9. Центр сферы находится на плоскости z = 4, а сама сфера касается плоскости хОу в точке M (2; 3; 0). Составьте уравнение сферы и определите координаты ее центра.

6.10. Точки A(3; —5; 6) и В (5; 7; —1) являются концами одного из диаметров сферы. Составьте уравнение этой сферы.

6.11. Даны точки: А(2; —5; 8), В(8; —2; 5), С(5; —8; 2) и D (—2; —8; —5). Составьте уравнение сферы, если известно, что эти точки лежат на ее поверхности.

6.12. Найдите координаты точки, симметричной центру сферы
(х — 3)2 + (у + 2)2 + (z — 1)2 = 24 относительно касательной плоскости к сфере в точке
M (—1; 0; 3).

6.13. Точки А (7; —2; 4) и В (9; —8; 6) лежат на поверхности сферы и на прямой, проходящей через ее центр. Составьте уравнение сферы.

6.14. Составьте уравнение поверхности вращения эллипса вокруг оси  Oy.

6.15. Эллипс с полуосями а = 6, b = 4 и центром в начале координат вращается вокруг своей большой оси, совпадающей с осью Оz. Составьте уравнение поверхности вращения. Изобразите поверхность на рисунке.

6.16. Составьте уравнение поверхности, описываемой гиперболой при ее вращении вокруг своей действительной оси, совпадающей с осью Ох. Полуоси гиперболы
a = 8 и b= 6, а центр ее совпадает с началом координат. Изобразите поверхность на рисунке.

6.17. Составьте  уравнение  поверхности   вращения  гиперболы  вокруг оси Оz. Изобразите поверхность на рисунке.

6.18. Составьте уравнение поверхности вращения параболы у2 = 6z  вокруг оси Oz. Изобразите поверхность на рисунке.

6.19. Составьте уравнение поверхности вращения прямой х — 3 = 0 вокруг оси Oz. Изобразите поверхность на рисунке.

6.20. Составьте   уравнение   поверхности   вращения   прямой  вокруг оси
Ох.

6.21. Составьте уравнение цилиндрической поверхности, у которой направляющая лежит в плоскости хОу и имеет уравнение  , а образующая параллельна вектору a (1; 0; 1).

6.22. Какие поверхности определяются уравнениями:

6.23. Кривая в пространстве задана параметрическими уравнениями

Составьте уравнение конической поверхности с вершиной в начале координат, для которой данная кривая является направляющей.

6.24. Составьте уравнение конической поверхности, полученной вращением двух пересекающихся прямых: вокруг оси Оz.

6.25. Установите вид поверхности 14х = у2 + z2 и постройте ее изображение.

6.26. Определите, какая поверхность задана уравнением и установите, по какой линии она пересекается с плоскостью  z — 1 = 0.

6.27. Определите, какая поверхность задана уравнением и установите, по какой линии она пересекается с плоскостью  z + 2 = 0.

6.28. Определите, какая поверхность задана уравнением х2 + у2 — 4z= 0, и установите, по какой линии она пересекается с плоскостью х — 2 = 0.

ОТВЕТЫ
Используются технологии uCoz