Глава VII. Объемы тел и площади поверхностей.

§ 80. Объем параллелепипеда.

За единицу измерения объемов принимается объем куба, у которого длина ребра равна единице длины. Например, 1 м³ — это объем куба, длина ребра которого равна 1 м, а
1 см³ — это объем куба, длина ребра которого 1 см. Очевидно, что 1 м³ = 100³ см³.

Если выбрана единица длины, то любой куб, длина ребра которого равна единице,  называется единичным. Объем единичного куба равен соответствующей единице объема. Объемом тела называется число единичных кубов и их частей, исчерпывающих данное тело. Это число может быть целым, дробным и, вообще, произвольным неотрицательным действительным числом.

В дальнейшем при доказательстве утверждений об объемах предполагается, что выполняются следующие свойства:

1) конгруэнтные многогранники имеют равные объемы (свойство инвариантности);

2) объем многогранника, являющегося объединением нескольких многогранников, любые два из которых не имеют общих внутренних точек, равен сумме объемов этих многогранников (свойство аддитивности).

Из свойства 2) вытекает свойство монотонности: объем части многогранника не больше объема всего многогранника.

Многогранники, имеющие равные объемы, называются равновеликими.

Прежде всего выведем формулу для объема прямоугольного параллелепипеда. Напомним, что длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, сходящихся  в одной вершине, называются его измерениями. Одно из них можно считать длиной, другое — шириной, а третье — высотой.

Теорема 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, т. е.

V = abc,      (1)

где а, b, с — три измерения параллелепипеда.

Очевидно, что если у прямоугольного параллелепипеда все три измерения являются целыми числами

a = m,  b = р,  c = q,

то он плоскостями, параллельными граням, разбивается, на mpq единичных кубов, и поэтому его объем равен произведению abc.

Рассмотрим теперь случай, когда все три измерения а, b, с — рациональные числа (в частности, они могут быть и целыми). Приведем эти числа к общему знаменателю. Тогда

a = ^m/_n   , b =  ^p/_n , c = ^q/_n

где п, m, р, q— натуральные числа.

Плоскостями, параллельными граням, единичный куб разделим на n³ равновеликих кубов. Объем каждого такого куба равен ¹/_n3

Рассматриваемый прямоугольный параллелепипед содержит mpq маленьких кубиков, и поэтому его объем V равен сумме объемов всех этих кубов:

V = mpq •  ¹/_n3 = ^m/_n • ^p/_n • ^q/_n = abc

Рассмотрим, наконец, общий случай, когда измерения а, b, с — действительные числа (в частности, они могут быть и рациональными). Обозначим их n-е десятичные приближения с недостатком и избытком соответственно через а_n , b_n , с_n и а'_n, b'_n, с'_n. Через V_n и V'_n обозначим объемы параллелепипедов, измерениями которых являются соответственно а_n , b_n , с_n и а'_n, b'_n, с'_n. Тогда

V_n = а_n b_n с_n  ,    V'_n  = а'_nb'_nс'_n   ,

так как в случае, когда все три измерения параллелепипеда — рациональные числа, эта формула уже доказана.

Согласно свойству монотонности объемов V_n  < V  < V'_n  , т. е.

а_n b_n с_n  < V  < а'_nb'_nс'_n .

Переходя к пределу при п —> ∞ в этом неравенстве, получаем формулу (1).

Следствие. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту, т. е.

V = QH,     (2)

где Q — площадь основания параллелепипеда, а Н — его высота.

За основание прямоугольного параллелепипеда примем прямоугольник, длины сторон которого равны а и b (рис. 240).

Тогда ab = Q — площадь основания параллелепипеда,
с = Н — его высота, и поэтому формула (2) следует из формулы (1).

Теорема 2. Объем прямого параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту, т. е.

V = QH,     (3)

где Q — площадь основания параллелепипеда, а Н — его высота.

Рассмотрим прямой параллелепипед, основанием которого является параллелограмм ABCD (рис. 241).

Проведя через ребра АА₁ и DD₁ плоскости АА₁Е₁Е и DD₁F₁F перпендикулярно прямой  ВС, построим прямоугольный параллелепипед AEFDA₁E₁F₁D₁. Этот параллелепипед равновелик данному, так как треугольная призма AEBA₁E₁B₁ конгруэнтна треугольной призме DFCD₁F₁C₁. Согласно формуле (2)

V = S_AEFDH ,

где S_AEFD — площадь прямоугольника AEFD. А так как этот прямоугольник равнлелик параллелограмму ABCD, т. е. S_AEFD = Q, то формула (3) доказана.

Задача. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, площадь которого равна S. Площади диагональных сечений равны S₁ и S₂. Найти объем параллелепипеда.

Для нахождения объема параллелепипеда нужно найти его высоту Н (рис. 242).

Обозначим длины диагоналей основания через d₁ и d₂. Тогда

d₁•H = S₁,    d₂•H = S₂,  d₁• d₂ = 2S.    

Из этих уравнений находим

Следовательно,