Глава VII. Объемы тел и площади поверхностей.

§ 81. Объем прямой призмы.

Теорема. Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания на высоту, т. е.

V = QH,

где Q — площадь основания призмы, а Н — ее высота.

Рассмотрим сначала треугольную призму АВСА₁В₁С₁(рис. 243).

Достроим ее до прямого параллелепипеда ACBDA₁C₁B₁D₁. Очевидно, площадь основания ACBD этого параллелепипеда равна 2Q, а высота равна Н, и поэтому его объем равен 2QH.

Так как призмы АВСА₁В₁С₁ и ABDA₁B₁D₁ конгруэнтны, то их объемы равны. Следовательно, если V — объем данной призмы, то 2V = 2QH, т. е. V = QН. Для треугольной призмы теорема доказана.

Рассмотрим теперь произвольную n-угольную прямую призму ( n >3). Через одно из боковых ребер призмы проведем диагональные сечения (рис. 244).

Тогда данная призма разобьется на п — 2 треугольные призмы высоты Н, сумма объемов которых равна объему данной призмы.

Поэтому, если Q₁, Q₂,..., Q_{п — 2} — площади оснований полученных треугольных призм, то

Q₁ + Q₂ + ... + Q_{п — 2} = Q

и

V = Q₁H + Q₂H + ... + Q_{п — 2}H =(Q₁ + Q₂ + ... + Q_{п — 2} )H = QH

Задача. Найти объем правильной шестиугольной призмы, у которой наибольшая диагональ равна d, а боковые грани— квадраты.

Обозначим длину стороны основания призмы через а (рис. 245) и найдем площадь основания:

Q = 6 • ¹/₂ a² sin 60° = 3 • a² • ^√3/₂ = ^3√3/₂  a².

Из треугольника ADD₁ по теореме Пифагора получаем

|AD₁|² = |AD|² + |DD₁|².

т. е. d²= (2а)² + а² = 5а²,     a = ^d/_√5 .

Следовательно,

V = QH = ^3√3/₂  a² • a  =  ^3√3/_10√5    d³