Глава VII. Объемы тел и площади поверхностей.

§ 82. Объем прямого цилиндра.

Пусть в пространстве задано ограниченное тело D.  Всякий многогранник K, содержащий тело D, будем называть описанным около тела D, а всякий, многогранник K', содержащийся в D, будем называв вписанным  в телo D.

Если для тела D существуют последовательности вписанных и описанных многогранников

K'_n   D    K_n,     nN,

объемы которых V'_n и V_n имеют общий предел

V'_n  =  V_n  = V,

то число V называется объемом тела D.

Отметим, что объем тела, определенный таким образом, обладает свойствами инвариантности и аддитивности.

Замечание. Можно доказать, что если для тела D существуют две последовательности вписанных и описанных тел (не обязательно многогранников), объемы которых имеют общий предел V, то объем тела D равен числу V.

Теорема. Объем прямого цилиндра равен произведению площади его основания на высоту, т. е.

V = QH,

где Q — площадь основания, а Н — высота цилиндра.

Так как площадь основания цилиндра равна Q, то существуют последовательности описанных и вписанных многоугольников с площадями Q_n и Q'_n  таких, что

Q_n =  Q'_n = Q.

Построим последовательности призм, основаниями которых являются рассмотренные выше описанные и вписанные многоугольники, а боковые ребра параллельны образующей данного цилиндра и имеют длину H. Эти призмы являются описанными и вписанными для данного цилиндра. Их объемы находятся по формулам

V_n = Q_nH  и  V'_n = Q'_nH.

Следовательно,

V=  Q_nH =  Q'_nH = QH.  

Следствие. Объем прямого кругового цилиндра вычисляется по формуле

V = π R²H

где R — радиус основания, а H — высота цилиндра.

Так как основание кругового цилиндра есть круг радиуса R, то Q = π R², и поэтому
V = QH = π R²H.

Задача. В прямой круговой цилиндр вписана правильная треугольная призма (рис. 246). Найти отношение объема цилиндра к объему призмы.

Так как цилиндр и призма имеют одинаковую высоту, то отношение их объемов равно отношению площадей оснований:

Очевидно, что Q_ц = π R², где R — радиус основания цилиндра.

В основании призмы лежит правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Длина его стороны равна √3R и поэтому Q_п = ^3√3/₄   R².

Следовательно,