Глава VII. Объемы тел и площади поверхностей.

§ 84. Объем  тела  вращения

Рассмотрим тело вращения, полученное вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, которая соответствует неотрицательной непрерывной функции
у = f(x), х  [а; b] (рис. 250).

Очевидно, что сечение этого тела плоскостью, проходящей через точку с абсциссой
х  [а; b] и перпендикулярной оси Ох, есть круг радиуса f(x). Следовательно,

S(x) = π f ²(x)

а объем рассматриваемого тела вращения вычисляется по формуле

Задача 1. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, соответствующей функции у = х³,   х   [1; 3] (рис. 251).

По формуле (1) получаем

Задача 2. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, соответствующей функции у = cos х ,  х   [— ^π/₂; ^π/₂] (рис. 252).

По формуле (1) получаем

Задача 3. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями у = √3x  ,  у = ^x/₂ и x = 3 (рис. 253).

Очевидно, что объем данного тела вращения равен разности объемов тел, полученных вращением криволинейных трапеций, соответствующих функциям   у = √3x    и  у = ^x/₂,
х   [0; 3].  Следовательно,