Глава VII. Объемы тел и площади поверхностей.

§ 85. Объем прямого кругового конуса

Теорема 1. Объем прямого кругового конуса с высотой Н и радиусом основания R вычисляется по формуле

V = ¹/₃ π R²H

Данный конус можно рассматривать как тело, полученное вращением треугольника с вершинами в точках О(0; 0),В(Н; 0), А(Н; R) вокруг оси Ох (рис. 254).

Треугольник ОАВ является  криволинейной  трапецией, соответствующей функции
у = ^R/_H х,   х [0; H]. Поэтому, используя формулу (1) из § 84, получаем

Следствие. Объем прямого кругового конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту, т. е.

V = ¹/₃ QH

где Q — площадь основания, а H — высота конуса.

Теорема 2. Объем усеченного конуса с радиусами оснований r и R и высотой H вычисляется по формуле

V = ¹/₃ πH( r ² + R² + rR).

Усеченный конус можно получить вращением вокруг оси Ох трапеции О ABC (рис. 255).

Прямая АВ проходит через точки (0; r) и (H; R), поэтому она имеет уравнение

Используя формулу (1) из § 84, получаем

Для вычисления интеграла сделаем замену

Очевидно, когда х изменяется в пределах от 0 до H, переменная и изменяется от r до R, и поэтому

Задача. Найти объем тела, полученного вращением равнобедренного треугольника около оси l, проходящей через вершину основания параллельно боковой стороне. Длина боковой стороны равна а, угол при вершине равен α (α <  ^π/₂ )

Пусть ABC — данный треугольник (рис. 256).

Проведем отрезки CL и ВК, перпендикулярные оси l. Тогда объем V тела, полученного вращением   /\  АВС, вычисляется по формуле

V = V_ц —  V'_к— V''_к,

где V_ц —объем цилиндра, полученного вращением прямоугольника KBCL,
a V'_к и V''_к — объемы конусов, образующихся при вращении  /\ АКВ и  /\ ALC. Следовательно,

V= π |LC|²|BC| —^π/₃|KB|²|AK|—^π/₃|LC|²|AL|,

а так как

|LC|=|KB| и | АК| + | AL| = | ВС],

то

V= π |LC|² ( |BC| —¹/₃|BC| ) = ²/₃π |LC|²|BC| .

По условию |ВС| = а, а из /\ ALC:   |LC| = asin α . Следовательно,

V = ²/₃π a³sin² α.