Глава VII. Объемы тел и площади поверхностей.

§ 86. Объем шара и его частей.

Теорема 1. Объем шара радиуса R вычисляется по формуле

V = ⁴/₃ π R³           (1)

Шар является телом вращения. Он получается вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, соответствующей функции у = √R² — х²   , х  [— R; R ] (рис. 257).

Следовательно, по формуле для объема тела вращения получаем

Аналогично получается формула для объема шарового слоя, который получается при вращении вокруг оси Ох криволинейной трапеции, соответствующей функции
   у = √R² — х²   , х  [a; b ] (рис. 258).

Действительно,

   (2)

Теорема 2. Объем шарового слоя, радиусы оснований которого равны r₁ и r₂, а высота равна Н, вычисляется по формуле

V = ¹/₆ π H (3 r₁² + 3 r₂² + H² )        (3)

Из рис. 259 видно, что Н = b — а, поэтому формула (2) преобразуется следующим образом:

Из прямоугольных треугольников AOD и ВОС находим

r₁² = R² — а²,    r₂² = R² — b²

Следовательно,

r₁²  + r₂² = 2R² — а²— b² = 2R² —(b— а)²—2аb = 2R² — H² —2аb ,

и, поэтому

Таким образом,

Заметим, что если r₁ = r₂ = 0 и H = 2R, то формула (3) превращается в формулу (1) для объема шара радиуса R. Если же в (3) положим r₁ = r и r₂ = 0, то получим формулу для объема шарового сегмента.

Следствие. Объем шарового сегмента с радиусом основания r и высотой H вычисляется по формуле

V = ¹/₆ π H (3 r²  + H² ).       (4)

Тело, полученное вращением кругового сектора вокруг его стороны, называется шаровым сектором.

Шаровой сектор, полученный вращением кругового сектора АОВ (рис. 260), у которого , состоит из конуса OAA₁ и шарового сегмента АВА₁. Поэтому объем шарового сектора равен сумме объемов конуса и шарового сегмента.

Задача 1. Найти объем шарового сектора радиуса R, у которого угол в осевом сечении равен 120°.

Данный шаровой сектор получается при вращении кругового сектора ОАВ вокруг стороны ОВ (рис. 261).

Его объем V равен сумме объема V_к прямого кругового конуса с радиусом основания
|АС| и высотой |ОС| и объема V_сег шарового сегмента с тем же радиусом основания |АС| и высотой |ВС|.

Очевидно, что

|OC| = ¹/₂R,  |AC| = ^√3/₂ R,  |BC| = ¹/₂R.

По соответствующим формулам получаем

Следовательно,

V = V_к  + V_сег = ^π/₃R³

Задача 2. Найти объем тела, полученного вращением кругового сектора АОВ, изображенного на рис.262, вокруг прямой DC.

Объем V данного тела найдем по формуле

V = V_сл  — V'_к — V''_к

где V_сл  — объем шарового слоя с радиусами оснований |AD| и |ВС| и высотой |DC|,
V'_к  — объем конуса с радиусом основания |AD| и высотой |DO|,
V''_к —объем конуса с радиусом основания |ВС| и высотой |ОС|.

Так как

| DO | = | BC] = ¹/₂R    |AD| = |OC] = ^√3/₂ R,

то

V'_к =  ¹/₃ π • ³/₄R² • ¹/₂R = ^π/₈R³

V''_к =  ¹/₃ π • ¹/₄R² • ^√3/₂R = ^π√3/₂₄R³

Для вычисления объема шарового слоя воспользуемся формулой (3):

Следовательно,

В заключение получим две полезные формулы для объемов шарового сегмента и шарового сектора.

Объем шарового сегмента радиуса R и высоты H вычисляется по формуле

V = ¹/₃ π H² (3R — H )                (5)

Из прямоугольного треугольника ОСА следует (см. рис. 259), что

| АС|² = |ОА|²— |ОС|²,

т. е: r²  = R²— (R — H)² = 2RH — H².

: Подставив это выражение для r² в формулу (4), получим формулу (5).

 Объем шарового, сектора радиуса R вычисляется по формуле

V = ²/₃ π R²H

где R — радиус шара, а Н — высота соответствующего шарового сегмента.

Действительно, если H < R, то

V = ¹/₃ π H² (3R — H ) + ¹/₃ π r² (R — H ),

где первое слагаемое — это объем шарового сегмента, а второе слагаемое — объем конуса. Так как r² = 2RH —  Н² , то

V = ¹/₃ π H² (3R — H ) + ¹/₃ π (2RH —  Н²) (R — H ) =  ²/₃ π R²H

Аналогично рассматривается случай R > Н.