|
|
|
Глава VII. Объемы тел и площади поверхностей. § 88. Объем пирамиды и усеченной пирамиды. Теорема 1. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту, т. е. V = 1/3QH, (1) где Q — площадь основания, а Н — высота пирамиды. Через вершину пирамиды проведем плоскость р, параллельную плоскости основания (рис. 266).
Ось Ох выберем следующим образом: точка О лежит в плоскости р, а ось Ох перпендикулярна к р и направлена в сторону основания пирамиды. Тогда абсцисса вершины равна нулю, а абсцисса точки А пересечения плоскости основания с осью Ох равна высоте пирамиды Н. Через S(x) обозначим площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей параллельно основанию на расстоянии х от вершины. Как известно (§ 58), в пирамиде площадь основания и площадь сечения, параллельного основанию, относятся, как квадраты их расстояний от вершины . Поэтому
Для вычисления объема пирамиды применим формулу (1) из § 83
Теорема 2. Объем усеченной пирамиды с высотой Н и площадями оснований Q и q вычисляется по формуле V = 1/3 H (q + Q + √qQ ) Объем усеченной пирамиды ABCDEA1B1C1D1E1 можно найти как разность объемов пирамид SABCDE и SA1B1D1E1 (рис.267).
Поэтому V = 1/3Q (H + h) — 1/3 qh, где h —высота пирамиды, дополняющей усеченную пирамиду до полной. Так как
и, следовательно,
Таким образом, V = 1/3QH + 1/3 h (Q — q) = 1/3QH + 1/3H√q ( √Q + √q ) = 1/3 H (q + Q + √qQ ) Задача. Найти объем правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна а, а угол между боковыми гранями равен 90°. Пусть SABC — данная пирамида (рис. 268), a / BNC — линейный угол двугранного угла с ребром AS.
Так как /\ АВС правильный, |АВ| = а, то |ВК| = a/2, |АК| = a√3/2. Следовательно, для площади основания получаем выражение
Найдем высоту пирамиды Н = |SO|. Так как треугольники ASO и ANK прямоугольные и имеют один общий острый угол, то они подобны. Из подобия этих треугольников следует, что |SO|/|NK| = |AS|/|AK|
Здесь |NK| = |BK| = a/2, так как
Следовательно, из (3) получаем:
Таким образом,
|
, то
;
