Глава VII. Объемы тел и площади поверхностей.

§ 89*. Объем произвольного конуса.

Теорема. Объем произвольного конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту, т.е.

V = ¹/₃QH,        (1)

где Q — площадь основания, а Н — высота конуса.

Рассмотрим конус с вершиной S и основанием Ф (рис. 269).

Пусть площадь основания Ф равна Q, а высота конуса равна Н. Тогда существуют последовательности многоугольников Ф_п и Ф'_п с площадями Q_п и Q'_п таких, что
Ф_п Ф_пФ'_п и  Q'_п =  Q_п = Q.

Очевидно, что пирамида с вершиной S и основанием Ф'_п будет вписанной в данный конус, а пирамида с вершиной S и основанием Ф_п — описанной около конуса.

Объемы этих пирамид соответственно равны

V_п =  ¹/₃Q_пH  ,   V'_п =  ¹/₃Q'_пH

Так как

 V_п =  V'_п = ¹/₃QH

то формула (1) доказана.

Следствие. Объем конуса, основанием которого является эллипс с полуосями а и b, вычисляется по формуле

V = ¹/₃ π abH.     (2)

В частности, объем конуса, основанием которого является круг радиуса R, вычисляется по формуле

V =  ¹/₃ π R²H,      (3)

где Н — высота конуса.

Как известно (§ 87), площадь эллипса с полуосями а и b равна π ab, и поэтому формула (2) получается из (1) при Q = π ab. Если а = b = R, то получается формула (3).