|
|
|
Глава VII. Объемы тел и площади поверхностей. § 91. Площадь поверхности вращения. Площадь боковой поверхности для цилиндра и конуса была определена с помощью площади развертки. Однако не для любой поверхности такой способ пригоден. Например, нельзя «развернуть» на плоскость сферу. Определим в общем случае площадь поверхности вращения и приведем формулу для ее вычисления.
Пусть дана дуга АВ кривой (рис. 274), уравнение которой у = f(х), х Разобьем отрезок [а; b]точками
на n отрезков равной длины. Через точки xi проведем прямые, параллельные оси Оу, точки пересечения этих прямых с дугой АВ обозначим Mi. Ломаная АМ1М2 ... Mn—1B называется вписанной в дугу АВ. При достаточно мелком разбиении отрезка [а; b], т. е. при достаточно большом п, площади поверхностей, образованных вращением вокруг оси Ох дуги АВ и вписанной в нее ломаной, будут мало отличаться друг от друга. Поверхность, полученная вращением ломаной, состоит из боковых поверхностей п усеченных конусов (или цилиндров). Ее площадь мы умеем вычислять. Предел, к которому стремится при п —> ∞ площадь поверхности, образованной вращением ломаной АМ1 ... Mn—1B, вписанной в АВ, называется площадью поверхности, образованной вращением дуги АВ. Можно доказать, что площадь поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох, вычисляется по формуле
или, короче,
Доказательство этой формулы мы не приводим. Задача 1. Найти площадь поверхности, полученной вращением вокруг оси Ох дуги параболы у = 2√x 0 < x < 1 (рис. 275).
Так как у' = 1/√x , то, согласно формуле (1), площадь поверхности вращения будет выражаться формулой
откуда получаем
Ответ: S = 8π/3 ( 2√2 — 1) . Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями x = φ(t), y = ψ(t), t
Задача 2. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги циклоиды
Так как х' = а (1 — cos t) и y' = а sin t, то по формуле (2) получаем
|
[а; b], 
