Глава VII. Объемы тел и площади поверхностей.

Задачи к главе VII

7.1. Многогранники Ф₁ и Ф₂ имеют объемы V₁и V₂. Найдите объем фигуры Ф₁  Ф₂ , если известно, что объем фигуры Ф₁  Ф₂ равен 0,5 V₂ .

7.2. Многогранники  Ф₁ и Ф₂ имеют объемы V₁и V₂. В каком случае объем фигуры
Ф₁  Ф₂ будет равен V₁ ?

7.3. Найдите отношение объемов частей куба, на которые он рассекается плоскостью, проходящей через его ось симметрии.

7.4. Дан прямоугольный параллелепипед, объем которого равен V. Найдите объемы частей параллелепипеда, на которые он рассекается плоскостью, проходящей через его ось симметрии.

7.5. Куб объема V пересечен плоскостью, проходящей через его центр симметрии. Найдите объемы частей куба.

7.6. Диагональ куба равна l. Найдите объем куба.

7.7. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат со стороной а, равна l (l > √2 а). Найдите объем данного параллелепипеда.

7.8. Докажите, что объем прямоугольного параллелепипеда равен √Q₁Q₂Q₃.  если площади его граней равны Q₁, Q₂ и Q₃.

7.9. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 7 см и √18 см и образуют угол 45°, меньшая диагональ параллелепипеда составляет угол 45° с плоскостью основания. Найдите объем параллелепипеда.

7.10. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 12 см и составляет угол 30° с плоскостью боковой грани и угол 45° с боковым ребром. Найдите объем параллелепипеда.

7.11. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна l и составляет с одной гранью угол 30°, а с другой 45°. Найдите объем параллелепипеда.

7.12. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с основанием угол 60°, двугранный угол между диагональным сечением и боковой гранью равен 45°. Найдите объем параллелепипеда, если диагональ основания равна d.

7.13. В прямом параллелепипеде ребра, выходящие из одной вершины, равны 1 м, 2 м и 3 м, причем два меньших ребра образуют угол 60°. Вычислите объем параллелепипеда.

7.14. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 10 см и 17 см. Одна из диагоналей основания равна 21 см, большая диагональ параллелепипеда равна 29 см. Вычислите объем параллелепипеда.

7.15. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13 см, а диагонали его боковых граней равны 4√10 см и 3√17 см. Найдите объем параллелепипеда.

7.16. Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм с углом 120° и сторонами, равными 3 см и 4 см. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания. Найдите объем параллелепипеда.

7.17. В наклонном параллелепипеде проекция бокового ребра на плоскость основания равна 5 см, а высота 12 см. Сечение, перпендикулярное боковому ребру, есть ромб с площадью 24 см² и диагональю, равной 8 см. Найдите объем параллелепипеда.

7.18. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб со стороной а и острым углом 30°. Диагональ одной боковой грани перпендикулярна к плоскости основания, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем параллелепипеда.

7.19. Из медной болванки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда размером 80 см  x  20 см  x  5 см, прокатывается лист толщиной 1 мм. Определите площадь этого листа.

7.20. Из квадратного листа жести со стороной а изготовлен бак наибольшего объема с квадратным основанием без крышки. Найдите линейные размеры бака.

7.21. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник, стороны которого 5 см, 5 см и 6 см; высота призмы равна большей высоте этого треугольника. Найдите объем призмы.

7.22. Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 7,5 см, 6,5 см и 7 см, а боковое ребро призмы равно 1²/₇ см. Вычислите ребро куба, равновеликого данной призме.

7.23. Высота прямой треугольной призмы равна 6 м, ее объем равен 2880 м³. Площади боковых граней относятся, как 17: 17: 16. Найдите длины сторон основания.

7.24. Длина диагонали правильной четырехугольной призмы 3,5 м, а диагонали боковой грани 2,5 м. Найдите объем призмы.

7.25. Диагональ длины a правильной четырехугольной призмы составляет с боковой гранью угол 30°. Найдите объем призмы.

7.26. В правильной треугольной призме сторона основания равна а. Найдите объем призмы, если диагональ боковой грани образует с другой боковой гранью угол α.

7.27. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 6 см; диагональ меньшей боковой грани составляет угол 45° с большей боковой гранью. Найдите объем призмы.

7.28. В основании прямой призмы находится треугольник со сторонами 3см и 5 см и углом 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите объем призмы.

7.29. В основании прямой призмы находится прямоугольный треугольник с площадью S и острым углом α. Площадь большей боковой грани равна Q. Найдите объем призмы.

7.30. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно высоте основания, а площадь сечения, проведенного через это боковое ребро и высоту основания, равна Q. Найдите объем призмы.

7.31. Длина железнодорожной шпалы 2,7 м, ее поперечное сечение приведено на рис. 278 (размеры даны в сантиметрах). Сколько шпал можно погрузить на платформу грузоподъемностью 17 т? (Плотность дерева принять равной 0,8 г/см³.)

7.32. Бассейн для воды, объем которого равен 32 м³, имеет форму правильной четырехугольной призмы. Дно и боковые стены бассейна надо покрыть плитками. Какими надо выбрать размеры бассейна, чтобы на его облицовку пошло наименьшее количество плиток? Сколько потребуется плиток, если их размер 20 см   x  20 см?

7.33. В цилиндре, высота которого равна диаметру основания, проведена плоскость, параллельная его оси и отсекающая от основания дугу, равную 120°. Периметр сечения равен (8 + 4√3) см. Вычислите объем цилиндра.

7.34. Диагональ осевого сечения прямого кругового цилиндра равна d = 16 см и составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем цилиндра.

7.35. Цилиндр образован вращением прямоугольника, площадь которого равна S, вокруг одной из его сторон. Найдите объем цилиндра, если длина окружности, описанной точкой пересечения диагоналей прямоугольника, равна С.

7.36. В прямом круговом цилиндре площадь сечения, перпендикулярного образующей, равна М, а площадь осевого сечения равна N. Определите объем цилиндра.

7.37. Параллельно оси прямого кругового цилиндра проведено сечение, отстоящее от оси на расстояние d и отсекающее от окружности основания дугу величиной α. Площадь сечения равна S. Найдите объем цилиндра.

7.38. Стальной вал, диаметр которого равен 8,4 см и длина 97 см, обтачивается так, что его диаметр уменьшается на 0,2 см. Насколько уменьшится масса вала после обработки? (Плотность стали 7,4 г/см³.)

7.39. При строительстве метро применяли кольца из железобетона с внешним радиусом 5,5 м и внутренним 5,1 м. Чему равен объем такого кольца длиной 100 м? На сколько процентов уменьшится объем, если длины обоих радиусов уменьшить на 0,4 м?

7.40. В наклонной призме стороны основания равны 4 см, 13 см и 15 см. Боковое ребро равно 10√2 см и наклонено к плоскости основания под углом 45°. Вычислите объем призмы.

7.41. В основании наклонной призмы лежит параллелограмм со сторонами 6 дм и 12 дм и острым углом 60°. Боковое ребро призмы равно 14 дм и составляет с плоскостью основания угол 30°. Найдите объем призмы.

7.42. В основании наклонного параллелепипеда лежит ромб с острым углом, равным α. Каждое ребро параллелепипеда равно а. Боковое ребро, проходящее через вершину острого угла ромба, составляет со сторонами основания углы, равные α. Найдите объем параллелепипеда.

7.43. В основании наклонной призмы лежит равносторонний треугольник со стороной, равной а. Одна из боковых граней призмы перпендикулярна плоскости основания и представляет собой ромб, диагональ которого равна b. Найдите объем призмы.

7.44. В основании призмы лежит равнобедренная трапедия, основания которой равны 28 см и 44 см, а боковые стороны равны 17 см. Одно из диагональных сечений призмы, перпендикулярное основанию, является ромбом с углом 45°. Найдите объем призмы.

7.45. Все грани параллелепипеда — ромбы с диагоналями 6 см и 8 см. Найдите объем параллелепипеда.

7.46. В наклонном параллелепипеде в основании лежит прямоугольник со сторонами а и b , а боковое ребро, равное с, составляет со смежными сторонами основания углы, равные α. Найдите объем параллелепипеда.

. 7.47. Вычислите объем пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см, а каждое боковое ребро равно 13 см.

7.48. Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 1 м, а апофема ее образует с высотой угол 30°. Вычислите объем пирамиды.

7.49. Боковые ребра а, b и с треугольной пирамиды взаимно-перпендикулярны. Докажите, что ее объем равен  ^abc/₆.

7.50. Полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна 108 см². Двугранный угол при основании равен 60°. Вычислите объем пирамиды.

7.51. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, плоский угол при вершине α. Найдите объем пирамиды.

7.52. Основание пирамиды — ромб со стороной а и острым углом а. Все двугранные углы при основании равны q>. Найдите объем пирамиды.

7.53. Основание пирамиды — ромб со стороной а и острым углом α, высота пирамиды h. Найдите объем пирамиды.

7.54. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, высота которого равна h, а угол при вершине α. Высота пирамиды равна H. Найдите объем пирамиды.

7.55. Площадь поверхности правильного тетраэдра равна S. Найдите его объем.

7.58. Пирамида Хеопса имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой да ≈ 150 м и боковым ребром  ≈ 220 м. Найдите объем пирамиды.

7.57. Один из алмазов, добытых в Якутии, имеет массу 42 карата и форму правильного октаэдра. Найдите ребро этого октаэдра. (Плотность алмаза 3,5 г/см³, 1 карат = 0,2 г.)

7.58. Боковые грани треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, а площади их равны а², b² и с². Определите объем пирамиды.

7.59. В треугольной усеченной пирамиде высота равна 10 м, стороны нижнего основания равны 27 м, 29 м и 52 м, а периметр верхнего основания равен 72 м. Определите объем усеченной пирамиды.

7.60. Стороны основания правильной усеченной четырехугольной пирамиды 40 см и 10 см. Площадь полной поверхности пирамиды равна 3400 см². Вычислите объем усеченной пирамиды.

7.61. В пирамиде через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Определите объем образовавшейся усеченной пирамиды, если высота данной пирамиды равна 18 см, а площадь основания 400 см².

7.62. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды а и b (а > b), двугранный угол при стороне большего оснозания α. Найдите объем усеченной пирамиды.

7.63. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований а и b (а > b), острый угол боковой грани равен α. Определите объем усеченной пирамиды.

7.64. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, угол между боковыми гранями равен φ. Найдите площадь боковой поверхности.

7.65. Вычислите объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ох плоских фигур, ограниченных линиями:

а) у = sin х, 0 < х < π и у = 0;

б) хy = 4, у = 0, х = 1, х = 4;     в) у = х², у = 1;

г) у = х²/2 ,  y = — x +  ³/₂:

д) у = sin х,   у = ²/_π х,   х > 0;

е) у² = х, х² = у;     ж) у²  = (х — 1)³, х = 2;

з) х² —  у² = 1, х = а +1 (а > 0).

7.68. Образующая конуса равна √6 см и составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите объем конуса.

7.67. Осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной 6 см. Найдите объем конуса.

7.68. Найдите объем конуса, диаметр основания которого равен 6 см, а угол между образующей и плоскостью основания равен 30°.

7.69. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 90°, площадь сечения 18 см². Найдите объем конуса.

7.70. Через вершину конуса под углом φ к основанию проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу α ; расстояние от плоскости сечения до центра основания равно d. Определите объем конуса.

7.71. Прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см вращается около большего катета. Вычислите объем тела вращения.

7.72. Через вершину конуса под углом 45° к основанию проведена плоскость, отсекающая четверть окружности основания радиуса R = 3 см. Вычислите объем конуса.

7.73. Треугольник со сторонами 10 дм, 17 дм и 22 дм вращается около большей стороны. Определите объем тела вращения.

7.74. Прямоугольный треугольник с площадью S и острым углом α вращается вокруг оси, содержащей гипотенузу. Найдите объем тела вращения.

7.76. Равнобедренный треугольник, основание которого а и угол при основании равен  α, вращается вокруг оси, содержащей основание. Найдите объем тела вращения.

7.76. Прямоугольный треугольник с площадью S и острым углом α вращается вокруг оси, проведенной через вершину прямого угла параллельно гипотенузе. Найдите объем тела вращения.

7.77. Равнобедренный треугольник, угол при вершине которого равен β, а боковая сторона равна т, вращается вокруг оси, содержащей боковую сторону. Найдите объем тела вращения.

7.78. Коническая куча зерна имеет высоту 2,4 м, а окружность основания 20 м. Сколько тонн зерна в куче, если масса 1 м³ зерна равна 750 кг?

7.79. Щебень укладывается в кучу, имеющую форму конуса с углом откоса 33°. Какой высоты должна быть куча, чтобы ее объем был равен 10 м³?

7.80. Радиусы оснований усеченного конуса равны 1 дм и 9 дм, образующая равна 1 м. Найдите объем усеченного конуса.

7.81. Радиусы оснований усеченного конуса и его высота относятся, как 3:6:4. Вычислите объем усеченного конуса, если его образующая равна 25 см.

7.82. Равнобедренная трапеция с острым углом 60° вращается вокруг оси, проходящей через ее боковую сторону. Вычислите объем тела вращения, если основания трапеции равны 6 см и 20 см.

7.83. Ромб со стороной а и острым углом α  вращается вокруг оси, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно его стороне. Найдите объем тела вращения.

7.84. Ромб с большей диагональю d и острым углом α  вращается около прямой, параллельной стороне ромба и отстоящей на расстоянии d от точки пересечения диагоналей. Найдите объем тела вращения.

7.85. Бревно длиной 15,5 м имеет диаметры концов 42 см и 35 см. Найдите относительную погрешность, которую мы допускаем, вычисляя объем бревна умножением площади среднего поперечного сечения бревна на его длину.

7.86. Какое тело имеет больший объем: шар радиуса 1 дм или правильная треугольная призма, каждое ребро которой равно 2 дм?

7.87. Модель шара диаметром 12 см и модель куба с ребром 1 дм изготовлены из одного и того же материала. Масса какой из моделей меньше?

7.88. Радиус ОМ разбивает полукруг с диаметром АВ на два сектора так, что
= 120°. Найдите отношение объемов фигур, образованных вращением этих секторов вокруг (АВ).

7.89. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной его диаметру, делит диаметр в отношении 1 :2. Найдите отношение объемов частей шара.

7.90. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной его радиусу, делит радиус пополам. Найдите отношение объемов частей шара.

7.91. Вычислите объем шарового сегмента, если радиус окружности его основания равен 56 см, а радиус шара 65 см.

7.92. Сектор АОВ с углом , равным 30°, вращается вокруг прямой ON, перпендикулярной к [ОВ]. Найдите объем тела вращения, если радиус сектора R.

7.93. В шаре радиуса R выделен сектор с углом α  в осевом сечении. Найдите его объем.

7.94. В шаре, радиус которого равен 2 дм, просверлено цилиндрическое отверстие вдоль его диаметра. Вычислите объем оставшейся части, если радиус отверстия равен 1 дм.

7.95. Дуга осевого сечения шарового сектора равна 120°. Найдите отношение его объема к объему соответствующего шарового сегмента.

7.96. Вычислите объем шара, описанного около куба, ребро которого равно 1 м.

7.97. Сторона основания правильного тетраэдра равна а, двугранный угол при основании равен φ. Определите объем шара, вписанного в тетраэдр.

7.98. В шар, объем которого равен V, вписана прямая треугольная призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник с острым углом α, а наибольшая боковая грань есть квадрат. Найдите объем призмы.

7.99. В шар радиуса R вписан конус, образующая которого составляет с его высотой угол а. Найдите объем конуса.

7.100. В шар радиуса R вписана четырехугольная пирамида, боковые ребра которой наклонены к плоскости основания пирамиды под углом  φ. Определите объем пирамиды, если в ее основании лежит прямоугольник, диагональ которого составляет с большей стороной угол, равный α.

7.101. Найдите объем шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду с ребром основания, равным а, и плоским углом при вершине, равным α.

7.102. В конус вписан шар, у которого площадь большого круга равна S. Найдите объем конуса, если угол между его высотой и образующей равен α.

7.103. В цилиндр вписана четырехугольная призма, два боковых ребра которой расположены в осевом сечении цилиндра, а два других— в плоскости, перпендикулярной этому сечению. При одном из ребер двугранный угол равен  α. Высота призмы равна периметру ее основания, а сумма диагоналей основания равна s. Найдите объем призмы.

7.104. Около конуса описана пирамида. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, один из острых углов которого равен  α. Определите объем конуса, если известно, что радиус его основания равен r и образующая наклонена к плоскости основания под углом β.

7.105. Площадь осевого сечения цилиндра равна Q. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

7.106. Диагональ развертки боковой поверхности цилиндра равна l и составляет со стороной развертки, соответствующей окружности основания цилиндра, угол α. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

7.107. Отрезок, соединяющий диаметрально противоположные точки верхнего и нижнего оснований цилиндра, равен 10 см и наклонен к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь боковой и полной поверхностей цилиндра.

7.108. Сколько квадратных метров жести израсходовано на изготовление 1 млн. консервных банок диаметром 10 см и высотой 5 см (на швы и отходы добавить 10% материала)?

7.109. Высота цилиндра равна h, диагональ осевого сечения составляет угол φ с плоскостью основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

7.110. Сторона прямоугольника равна h, угол между его диагоналями равен φ. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, образованного при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей данную сторону.

7.111. Квадрат со стороной а вращается около оси, параллельной его стороне и отстоящей от ближайшей стороны на ее длину. Найдите площадь поверхности тела вращения.

7.112. Образующая конуса равна l , угол при вершине осевого сечения φ. Найдите площади боковой и полной поверхностей конуса.

7.113. Площадь основания конуса Q, длина образующей l. Найдите площади боковой и полной поверхностей конуса.

7.114. Коническая крыша силосной башни имеет диаметр 6 м и высоту 2 м. Сколько листов кровельного железа потребуется для этой крыши, если размер листа 0,7 м  x 1,4 м, а на швы и обрезки тратится 10% от общей площади крыши?

7.115. Прямоугольный треугольник с катетом а и противолежащим ему углом 30° вращается вокруг гипотенузы. Найдите площадь поверхности полученной фигуры вращения.

7.116. Равнобедренный треугольник, длина основания которого b, а угол при вершине  φ, вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности полученной фигуры вращения.

7.117. Стороны параллелограмма равны а и b, а угол между ними α . Найдите площадь поверхности тела, образованного вращением параллелограмма вокруг стороны b.

7.118. Вычислите площади поверхностей, образованных вращением следующих кривых вокруг оси Ох:

7.119. В шаре по одну сторону от центра проведены два параллельных сечения, площади которых равны 49π дм² и 4π м². Найдите площадь поверхности шара, если расстояние между сечениями равно 9 дм.

7.120. Ребро куба равно а. Сфера проходит через четыре вершины нижнего основания куба и касается четырех ребер его верхнего основания. Найдите площадь сферы.

7.121. Найдите площадь сферического пояса, если радиусы его оснований 20 м и 24 м, а радиус сферы 25 м.

7.122. На каком расстоянии от центра сферы радиуса R находится точечный источник света, если он освещает треть поверхности сферы?

7.123. Найдите площадь той части земной поверхности, считая радиус земного шара равным 6400 км, которую видит космонавт из космического корабля на высоте 300 км от поверхности Земли.

Указание. Видимую часть земной поверхности считать cферическим сегментом.

7.124. Максимальное удаление космического корабля "Восток" от поверхности Земли было 302 км, минимальное —175 км. Какой процент земной поверхности мог видеть Ю. А. Гагарин в эти моменты? Радиус Земли — 6370 км.

ОТВЕТЫ