СВОЙСТВО  БИССЕКТРИСЫ   ВНУТРЕННЕГО  УГЛА ТРЕУГОЛЬНИКА.

В скобках здесь и дальше указаны номера параграфов по книге А. П. Киселёва «Геометрия». Учебник для 6—9 классов семилетней и средней школы,  часть  I,  Учпедгиз,   1962.

1. (186.) Теорема. Биссектриса (BD, черт. 1) любого угла треугольника (ABC) делит противоположную сторону на части (AD и CD), пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Требуется доказать, что если / ABD = / DBC, то AD : DC =АВ : ВС.

Проведём СЕ || BD до пересечения в точке Е с продолжением стороны АВ. Тогда, согласно теореме о пропорциональности отрезков, образующихся на прямых, пересечённых несколькими параллельными прямыми, будем иметь пропорцию:

AD : DC = АВ: BE.

  Чтобы от этой пропорции перейти к той, которую требуется доказать, достаточно обнаружить, что ВЕ = ВС, т. е. что /\ ВСЕ равнобедренный.
  В этом треугольнике / Е = / ABD (как углы соответственные при параллельных прямых) и / ВСЕ =  / DBC (как углы накрест лежащие при тех же параллельных прямых).

  Но /  ABD = / DBC по условию; значит, / Е = / ВСЕ, а потому равны и стороны
BE и ВС, лежащие против равных углов.
  Теперь, заменив в написанной выше пропорции BE на ВС, получим ту пропорцию, которую требуется доказать.

Численный пример. Пусть АВ = 10; ВС = 7 и АС  = 6. Тогда, обозначив AD буквой х, можем написать пропорцию: х : (6 — х) = 10 : 7,

отсюда найдём:

7х = 60 — 10х;   7х + 10х = 60;    17х = 60;  
х = ⁶⁰/₁₇ = 3 ⁹/₁₇

Следовательно,

DC = 6 — х =  6 — 3 ⁹/₁₇  = 2 ⁸/₁₇