ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ЛИНИИ В КРУГЕ.
8. (199.) Некоторые пропорциональные линии в круге мы указали ранее в § 3 (189); теперь укажем ещё другие.
Теорема. Если через точку (М, черт. 11), взятую внутри круга, проведены какая-нибудь хорда (АВ) и диаметр (CD), то произведение отрезков хорды (AM•MB) равно произведению отрезков диаметра (MD•MC).
Проведя две вспомогательные хорды АС и BD, мы получим два треугольника АМС и MBD (покрытые на чертеже штрихами), которые подобны, так как у них углы А и D равны, как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС, и углы С и В равны, как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AD. Из подобия треугольников выводим:
AM : MD = МС : MB, откуда
AM • MB = MD • МС.
9. (200.) Следствие. Если через точку (М, черт. 11), взятую внутри круга, проведено сколько угодно хорд (АВ, EF, KL, ...), то произведение отрезков каждой хорды есть число постоянное для всех хорд, так как для каждой хорды это произведение равно произведению отрезков диаметра CD, проходящего через взятую точку М.
10. (201.) Теорема. Если из точки (М, черт.12), взятой вне круга проведены к нему какая-нибудь секущая (МА) и касательная (МС), то произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной (предполагается, что секущая ограничена второй точкой пересечения, а касательная — точкой касания).
Проведём вспомогательные хорды АС и ВС; тогда получим два треугольника MAC и МВС (покрытые на чертеже штрихами), которые подобны, потому что у них угол М общий и углы МСВ и CAB равны, так как каждый из них измеряется половиной дуги ВС. Возьмём в /\ MAC стороны МА и МС; сходственными сторонами в /\ МВС будут МС и МВ; поэтому
МА : МС = МС : MB, откуда
МА • MB = МС2.
11. (202.) Следствие. Если из точки (М, черт. 12), взятой вне круга, проведены к нему сколько угодно секущих (М A, MD, ME, ...), то произведение каждой секущей на её внешнюю часть есть число постоянное для всех секущих, так как для каждой секущей это произведение равно квадрату касательной (МС2), проведённой из точки М.