Предварительные замечания
1. В стереометрии изучаются геометрические тела и пространственные фигуры, не все точки которых лежат в одной плоскости. Пространственные фигуры изображаются на чертеже при помощи рисунков, которые производят на глаз приблизительно такое же впечатление, как и сама фигура. Эти рисунки выполняются по определённым правилам, основанным на геометрических свойствах фигур.
Один из способов изображения пространственных фигур на плоскости будет указан в дальнейшем (§ 54—66).
ГЛАВА ПЕРВАЯ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ
I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ
2. Изображение плоскости. В обыденной жизни многие предметы, поверхность которых напоминает геометрическую плоскость, имеют форму прямоугольника: переплёт книги, оконное стекло, поверхность письменного стола и т. п. При этом если смотреть на эти предметы под углом и с большого расстояния, то они представляются нам имеющими форму параллелограмма. Поэтому принято изображать плоскость на чертеже в виде параллелограмма1. Эту плоскость обычно обозначают одной буквой, например "плоскость М" (черт. 1).
1 Наряду с указанным изображением плоскости возможно и такое, как на чертежах 15—17 и др.
(Прим. ред.)
3. Основные свойства плоскости. Укажем следующие свойства плоскости, которые принимаются без доказательства, т. е. являются аксиомами:
1) Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и каждая точка этой прямой принадлежит плоскости.
2) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
3) Через всякие три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
4. Следствия. Из последнего предложения можно вывести следствия:
1) Через прямую и точку вне её можно провести плоскость (и только одну). Действительно, точка вне прямой вместе с какими-нибудь двумя точками этой прямой составляют три точки, через которые можно провести плоскость (и притом одну).
2) Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость (и только одну). Действительно, взяв точку пересечения и ещё по одной точке на каждой прямой, мы будем иметь три точки, через которые можно провести плоскость (и притом одну).
3) Через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость. Действительно, параллельные прямые, по определению, лежат в одной плоскости; эта плоскость единственная, так как через одну из параллельных и какую-нибудь точку другой можно провести не более одной плоскости.
5. Вращение плоскости вокруг прямой. Через каждую прямую в пространстве можно провести бесчисленное множество плоскостей.
В самом деле, пусть дана прямая а (черт. 2).
Возьмём какую-нибудь точку А вне её. Через точку А и прямую а проходит единственная плоскость (§ 4). Назовём её плоскостью М. Возьмём новую точку В вне плоскости М. Через точку В и прямую а в свою очередь проходит плоскость. Назовём её плоскостью N. Она не может совпадать с М, так как в ней лежит точка В, которая не принадлежит плоскости М. Мы можем далее взять в пространстве ещё новую точку С вне плоскостей М и N. Через точку С и прямую а проходит новая плоскость. Назовём её Р. Она не совпадает ни с М, ни с N, так как в ней находится точка С, не принадлежащая ни плоскости М, ни плоскости N. Продолжая брать в пространстве всё новые и новые точки, мы будем таким путём получать всё новые и новые плоскости, проходящие через данную прямую а. Таких плоскостей будет бесчисленное множество. Все эти плоскости можно рассматривать как различные положения одной и той же плоскости, которая вращается вокруг прямой а.
Мы можем, следовательно, высказать ещё одно свойство плоскости: плоскость может вращаться вокруг всякой прямой, лежащей в этой плоскости.
6. Задачи на построение в пространстве. Все построения, которые делались в планиметрии, выполнялись в одной плоскости при помощи чертёжных инструментов. Для построений в пространстве чертёжные инструменты становятся уже непригодными, так как чертить фигуры в пространстве невозможно. Кроме того, при построениях в пространстве появляется ещё новый элемент — плоскость, построение которой в пространстве нельзя выполнять столь простыми средствами, как построение прямой на плоскости.
Поэтому при построениях в пространстве необходимо точно определить, что значит выполнить то или иное построение и, в частности, что значит построить плоскость в пространстве. Во всех построениях в пространстве мы будем предполагать:
1) что плоскость может быть построена, если найдены элементы, определяющие её положение в пространстве (§ 3 и 4), т. е. что мы умеем построить плоскость, проходящую через три данные точки, через прямую и точку вне её, через две пересекающиеся или две параллельные прямые;
2) что если даны две пересекающиеся плоскости, то дана и линия их пересечения, т. е. что мы умеем найти линию пересечения двух плоскостей;
3) что если в пространстве дана плоскость, то мы можем выполнять в ней все построения, которые выполнялись в планиметрии.
Выполнить какое-либо построение в пространстве — это значит свести его к конечному числу только что указанных основных построений. При помощи этих основных задач можно решать и задачи более сложные.
В этих предложениях и решаются задачи на построение в стереометрии.
7. Пример задачи на построение в пространстве.
Задача. Найти точку пересечения данной прямой а (черт. 3) с данной плоскостью Р.
Возьмём на плоскости Р какую-либо точку А. Через точку А и прямую а проводим плоскость Q. Она пересекает плоскость Р по некоторой прямой b. В плоскости Q находим точку С пересечения прямых а и b. Эта точка и будет искомой. Если прямые а и b окажутся параллельными, то задача не будет иметь решения.