ГЛАВА ПЕРВАЯ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

III. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ К ПЛОСКОСТИ

Поставим задачу определить, в каком случае прямая может считаться перпендикулярной к плоскости. Докажем предварительно следующее предложение.

23. Теорема. Если прямая (АА₁, черт. 15), пересекающаяся с плоскостью (МN), перпендикулярна к каким-нибудь двум прямым (ОВ и ОС), проведенным на этой плоскости через  точку   пересечения (O) данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна и ко всякой  третьей прямой (ОD), проведённой на плоскости через ту же точку пересечения (О).

Отложим на прямой АА₁ произвольной длины, но равные отрезки ОА и ОА₁ и проведём на плоскости какую-нибудь прямую, которая пересекала бы три прямые, исходящие из точки О, в каких-нибудь точках С, D и В. Эти точки соединим с точками А и А₁. Мы получим тогда несколько треугольников. Рассмотрим их в такой последовательности.

Сначала возьмём треугольники АСВ и А₁СВ; они равны, так как у них СВ—общая сторона, АС=А₁С, как наклонные к прямой АА₁, одинаково удалённые от основания О перпендикуляра ОС; по той же причине АВ = А₁В. Из равенства этих треугольников следует, что /  АВС = /  А₁BС.

После этого перейдём к треугольникам АОВ и А₁ОВ; они равны, так как у них ОВ—общая сторона, АВ = А₁В и / АВD = / А₁ВD. Из равенства этих треугольников выводим, что АО = А₁О.

Теперь возьмём треугольники АОD и А₁ОD; они равны, так как имеют соответственно равные стороны. Из их равенства выводим, что / АОD и / А₁ОD , а так как эти углы смежные, то, следовательно, АА₁ _|_ ОD.

24. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она, пересекаясь с этой плоскостью, образует прямой угол с каждой прямой, проведённой на плоскости через точку пересечения.  В этом случае говорят также, что плоскость перпендикулярна к прямой.

Из предыдущей теоремы (§ 23) следует, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым, лежащим в данной плоскости и проходящим через точку пересечении данной прямой и плоскости.

Прямая, пересекающая плоскость, но не перпендикулярная к ней, называется наклонной к этой плоскости. Точка пересечения прямой с плоскостью называется основанием перпендикуляра или наклонной.

25. Сравнительная длина перпендикуляра и наклонных¹. Когда из одной точки А (черт. 16) проведены к плоскости перпендикуляр АВ и наклонная АС, условимся называть, проекцией наклонной на плоскость Р отрезок ВС,  соединяющий основание перпендикуляра и основание наклонной.

¹ Для краткости термины "перпендикуляр" и "наклонная" употребляются вместо ,"отрезок перпендикуляра, ограниченный данной точкой и основанием перпендикуляра" , и "отрезок наклонной, ограниченный данной точкой и основанием наклонной.

Таким образом, отрезок ВС есть проекция наклонной АС, отреюк ВD есть проекция наклонной АD и т. д.

26. Теорема. Если из одной и той же точки (А, черт. 16), взятой вне плоскости (Р), проведены и этой плоскости перпендикуляр (АВ) и какие-нибудь наклонные (АС, АD, АЕ, ...), то:

1) две наклонные, имеющие равные проекции, равны;

2) из двух наклонных та больше, проекция которой больше,

Вращая прямоугольные  треугольники АВСи АВD вокруг катета АВ, мы можем совместить их плоскости с плоскостью /\  АВЕ. Тогда все наклонные будут лежать в одной плоскости с перпендикуляром, а все проекции расположатся на одной прямой. Таким образом, доказываемые теоремы приводятся к аналогичным теоремам планиметрии.

Замечание. Так как АВ есть катет прямоугольного треугольника, а каждая из наклонных АС, АD, АЕ, ... есть гипотенуза, то перпендикуляр АВ меньше всякой наклонной; значит,  перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, есть наименьший из всех отрезков, соединяющих данную точку с любой точкой плоскости, и потому он принимается за меру расстояния точки А от плоскости Р.

27. Обратные теоремы. Если из одной и той же точки, взятой вне плоскости, проведены перпендикуляр и какие-нибудь наклонные, то:
1) равные наклонные имеют равные проекции;
2) из двух проекций та больше, которая соответствует большей наклонной.

Доказательство (от противного) предоставляем самим учащимся.

Приведём ещё следующую теорему о перпендикулярах, которая понадобится нам впоследствии.

28. Теорема. Прямая (DЕ, черт. 17), проведённая на плоскости (Р) через основание наклонной (АС) перпендикулярно к её проекции (ВС), перпендикулярна и к самой наклонной.

Отложим произвольные, но равные отрезки СD и СЕ и соединим прямолинейными отрезками точки А и В с точками D и E. Тогда будем иметь:
ВD = ВЕ, как наклонные к прямой DЕ, одинаково удалённые от основания С перпендикуляра ВС;
АD = АЕ, как наклонные к плоскости Р, имеющие равные проекции ВD и ВЕ.
Вследствие этого /\  АDЕ равнобедренный, и потому его медиана АС перпендикулярна к основанию DЕ.

Эта  теорема  носит название теоремы о трёх перпендикулярах.  Дей ствительно, в ней говорится о связи, соединяющей следующие три перпендикуляра:  
1) АВ к плоскости Р,
2) ВС к прямой DE и
3) АС к той же прямой DE.

29. Обратная теорема. Прямая (ОЕ, черт. 17), проведённая на плоскости (Р) через основание наклонной (АС) перпендикулярно к этой наклонной, перпендикулярна и к её проекции.

Сделаем те же построения, что и при доказательстве прямой теоремы. Отложим произвольные, но равные отрезки СD и СЕ  и соединим прямолинейными отрезками точки А и В с точками D и Е, тогда будем иметь:
АD = АЕ, как наклонные к прямой DЕ, одинаково удалённые от основания С перпендикуляра АС;
ВD = ВЕ, как проекции равных наклонных АD и АЕ.
Вследствие этого /\  ВDЕ равнобедренный, и потому его медиана ВС перпендикулярна к основанию DЕ.