ГЛАВА ПЕРВАЯ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

IV ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬЮ И
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬЮ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ.

80. Предварительное замечание. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве и перпендикулярность прямой к плоскости находятся в некоторой зависимости. Именно наличие параллельности одних элементов влечёт за собой перпендикулярность других, и, обратно, из перпендикулярности одних элементов можно сделать заключение о параллельности других. Эта связь между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей в пространстве выражается следующими теоремами.

31. Теорема. Если плоскость (Р, черт. 18) перпендикулярна к одной из параллельных прямых (АВ), то она перпендикулярна и к другой (CD).

Проведём через точку В на плоскости Р две какие-нибудь прямые ВЕ и BF, а через точку D проведём прямые DG и DH, соответственно параллельные прямым ВЕ и BF. Тогда будем иметь: / АВЕ = / CDG и / ABF = / CDH, как углы с параллельными сторонами. Но углы ABE и ABF прямые, так как АВ _|_ Р, значит, углы CDG и CDH также прямые (§ 18). Следовательно, CD _|_Р  (§ 24).

32. Обратная теорема. Если две прямые (АВ и СD, черт. 19) перпендикулярны к одной и той же плоскости (Р), то они параллельны.

Предположим противное, т. е. что прямые АВ и СD не параллельны. Проведём тогда через точку D прямую, параллельную АВ. При нашем предположении это будет какая-нибудь прямая DС₁ , не сливающаяся с DС. Согласно прямой теореме прямая DС₁ будет перпендикулярна к плоскости Р. Проведём через СD и С₁D плоскость Q и возьмём линию её пересечения DЕ с плоскостью Р. Так как (на основании предыдущей теоремы)  С₁D _|_ Р, то / С₁DE прямой, а так как по условию СD _|_Р, то / СDЕ также прямой. Таким образом, окажется, что в плоскости Q к прямой DЕ из одной её точки D восставлены два перпендикуляра DС и DС₁. Так как это невозможно, то нельзя допустить, чтобы прямые АВ и СD были нe параллельны.

33. Теорема. Если прямая (ВВ₁, черт. 20) перпендакулярна к одной из параллельных плоскостей (Р), то она перпендикулярна и к другой (Q).

Проведём через прямую ВВ₁ какие-нибудь две плоскости М и N, каждая из которых пересекается с Р и Q по параллельным прямым: одна — по параллельным прямым ВС и В₁С₁, другая—по параллельным прямым ВD и В₁D₁. Согласно условию прямая ВВ₁ перпендикулярна к прямым ВС и ВD; следовательно, она также перпендикулярна к параллельным им прямым В₁С₁ и В₁D₁ а потому перпендикулярна и к плоскости Q, на которой лежат прямые В₁С₁ и В₁D₁.

34. Обратная теорема. Если две плоскости (Р и О, черт. 21) перпендикулярны к одной и той же прямой (АВ), то они параллельны.

Предположим противное, т. е. что плоскости Р и Q пересекаются. Возьмём на линии их пересечения какую-нибудь точку С и проведём плоскость R через С и прямую АВ. Плоскость R пересечёт плоскости Р и Q соответственно по прямым АС и ВС.
Так как АВ _|_ Р, то АВ _|_ АС, и так как АВ _|_ Q, то АВ _|_ ВС. Таким образом, в плоскости R мы будем иметь два перпендикуляра к прямой АВ, проходящих через одну и ту же точку С, перпендикуляры АС и ВС. Так как это невозможно, то предположение, что плоскости Р и Q пересекаются, неверно. Значит, они параллельны.