ГЛАВА ПЕРВАЯ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

V. ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ, УГОЛ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ,
УГОЛ ДВУХ СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ, МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

УПРАЖНЕНИЯ

Доказать теоремы:

1. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны между собой

2. Все прямые, параллельные данной плоскости и проходящие через одну точку, лежат в одной плоскости, параллельной данной.

3. Дана плоскость Р и параллельная ей прямая а. Доказать, что все точки прямой а находятся на одинаковом расстоянии от плоскости Р.

4. Доказать, что все точки одной из двух параллельных плоскостей находятся на одинаковом расстоянии от другой плоскости.

5. Две плоскости, проходящие через две данные параллельные прямые и не параллельные между собой, пересекаются по прямой параллельной данным прямым.

6. Если прямая а параллельна какой-либо прямой b, лежащей на плоскости М, то всякая плоскость, проходящая через а, пересекает плоскость М по прямой, параллельной b, или по прямой b.

7. Если прямая а параллельна плоскости М, то всякая прямая, проходящая через точку, лежащую в плоскости М и параллельная прямой а, лежит в плоскости М.

8. Если даны две скрещивающиеся прямые а и b и через первую проведена плоскость,  параллельная  второй, а через вторую — плоскость, параллельная первой, то эти две плоскости параллельны.

9. Все прямые, проходящие через какую нибудь точку на прямой а и перпендикулярные к этой прямой, лежат в одной плоскости, перпендикулярной к а.

10. Если плоскость и прямая перпендикулярны к одной прямой, то они параллельны.

11. Если прямая а, параллельная плоскости М, пересекает прямую b, перпендикулярную этой плоскости, то прямые а и b перпендикулярны.

Задачи на построение

12. Через данную точку провести плоскость, параллельную двум данным прямым
а и b.

13. Через данную точку провести прямую, параллельную данной плоскости и пересекающую данную прямую.

14. Построить прямую, пересекающую две данные прямые и параллельную третьей данной прямой.

15. Построить какую-либо прямую, пересекающую две данные прямые и параллельную данной плоскости (задача неопределённая).

16. Построить какую-либо прямую, пересекающую три данные прямые (задача неопределённая).

17. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную двум данным скрещивающимся прямым.

18. Через данную прямую провести плоскость, перпендикулярную к данной плоскости.

19. Даны плоскость М и прямая а || М. Через прямую а провести плоскость, пересекающую плоскость М под данным углом.

20. Дана плоскость М и две точки А и В по одну сторону от неё. Найти  на плоскости М такую точку С, чтобы сумма АС + ВС была наименьшей.