ГЛАВА ТРЕТЬЯ

МНОГОГРАННИКИ

1. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И ПИРАМИДА

67. Многогранник. Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Общие стороны смежных многоугольников называются рёбрами многогранника. Многоугольники, которые ограничивают многогранник, называются его гранями. Грани многогранника, сходящиеся в одной точке, образуют многогранный угол; вершины таких многогранных углов называются вершинами многогранника. Прямые, соединяющие две какие-нибудь вершины, не лежащие на одной грани, называются диагоналями многогранника.

Мы будем рассматривать только в ы п у к л ы e многогранники, т. е. такие, которые  расположены по одну сторону от плоскости каждой из его граней.

Наименьшее число граней в многограннике—четыре; такой многогранник получается от пересечения трёхгранного угла какой-нибудь плоскостью.

68. Призма. П р и з м о й называется многогранник, у которого две грани —равные многоугольники с соответственно параллельными с тронами, а все остальные грани—параллелограммы.

Чтобы показать возможность существования такого многогранника, возьмйм (черт. 73) какой-нибудь многоугольник ABCDE и через его вершины проведем ряд параллельных прямых, не лежащих в его плоскости.

Взяв затем на одной из этих прямых произвольную точку А₁, проведём через неё плоскость, параллельную плоскости ABCDE; через каждые две соседние параллельные прямые также проведём плоскости. Пересечение всех этих плоскостей определит многогранник ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁, удовлетворяющий определению призмы. Действительно, параллельные плоскости ABCDE и A₁B₁C₁D₁E₁ пересекаются боковыми плоскостями по параллельным прямым (§ 16); поэтому фигуры АА₁Е₁Е, EE₁D₁D и т. д. — параллелограммы. С другой стороны, у многоугольников ABCDE и A₁B₁C₁D₁E₁ равны соответственно стороны (как противоположные стороны параллелограммов) и углы (как углы с параллельными и одинаково направленными сторонами); следовательно, эти многоугольники равны.

Многоугольники ABCDE и A₁B₁C₁D₁E₁ лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, перпендикуляр ОО₁ опущенный из какой-нибудь точки одного основания на плоскость другого, называется высотой призмы. Параллелограммы АА₁В₁В, ВВ₁С₁С и т. д. называются боковыми гранями призмы, а их схороны
АА₁, ВВ₁ и т. д., соединяющие соответственные вершины оснований,— боковыми рёбрами. У призмы все боковые рёбра равны, как отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями.

Отрезок прямой, соединяющий какие-нибудь две вершины, не прилежащие к одной грани, называется диагональю призмы. Таков, например, отрезок AD₁ (черт. 73).

Плоскость, проведённая через какие-нибудь два боковых ребра, не прилежащих к одной боковой грани призмы (например, через рёбра АА₁ и СС₁, черт. 73), называется диагональной плоскостью (на чертеже не показанной).

Призма называется прямой или наклонной, смотря по тому, будут ли её боковые рёбра перпендикулярны или наклонны к основаниям. У прямой призмы боковые грани — прямоугольники. За высоту такой призмы можно принять боковое ребро.

Прямая призма называется правильной, если ее основания — правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани — равные прямоугольники.

Призмы бывают треугольные, четырёхугольные и т. д., смотря по тому, что является основанием: треугольник, четырёхугольник и т. д.

69. Параллелепипед. П а р а л л е л е п и п е д о м  называют призму, у которой основаниями служат параллелограммы (рис. 74).

Параллелепипеды, как и всякие призмы, могут быть прямые  и наклонные.
Прямой параллелепипед называется прямоугольным, если его, основание— прямоугольник (черт. 75).

Из этих определений следует:

1) у параллелепипеда все шесть граней — параллелограммы;

2) у  прямого параллелепипеда четыре боковые   грани— прямоугольники, а два основания—параллелограммы;

3) у прямоугольного параллелепипеда все шесть граней — прямоугольники.

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, называются его измерениями; одно из них можно рассматривать как длину, другое — как ширину, а третье — как высоту.

Прямоугольный параллелепипед, имеющий равные измерения, называется кубом. У куба все грани—квадраты.

70. Пирамида. П и р а м и д о й называется многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, есть какой-нибудь многоугольник, а все остальные грани, называемые боковыми,— треугольники, имеющие общую вершину.

Чтобы получить пирамиду, достаточно какой-нибудь многогранный угол S (черт. 76) пересечь произвольной плоскостью АВСD и взять отсечённую часть SАВСD.

Общая вершина S боковых треугольников называется вершиной пирамиды, а перпендикуляр S₀, опущенный из вершины на плоскость основания,— высотой её.

Обыкновенно, обозначая пирамиду буквами, пишут сначала ту, которой обозначена вершина, например SАВСD (черт. 76).

Плоскость, проведённая через вершину пирамиды и через какую-нибудь диагональ основания (например, через диагональ ВD, (черт. 77), называется диагональной плоскостью.
Пирамиды бывают треугольные, четырёхугольные и т. д., смотря по тому, что является основанием—треугольник, четырехугольник и т. д. Треугольная пирамида (черт. 78) называется иначе тетраэдром; все четыре грани у такой пирамиды — треугольники.

Пирамида называется правильной (черт. 77), если, во-первых, ей основание есть правильный многоугольник и, во-вторых, высота проходит через центр этого многоугольника. В правильной пирамиде все боковые рёбра равны между собой (как наклонные с равными проекциями).

Поэтому все боковые грани правильной пирамиды суть равные равнобедренные треугольники. Высота SM (черт. 77) каждого из этих треугольников называется апофемой. Все апофемы в правильной пирамиде равны.

71. Усечённая пирамида. Часть пирамиды (черт. 79), заключённая между основанием (ABCDE) и секущей плоскостью (A₁B₁C₁D₁E₁), параллельной основанию, называется усечённой пирамидой.

Параллельные грани называются основаниями, а отрезок перпендикуляра ОО₁ опущенного из какой-нибудь точки О₁ основания A₁B₁C₁D₁E₁ на другое основание,— высотой усечённой пирамиды. Усечённая пирамида называется правильной, если она составляет часть правильной пирамиды.