ГЛАВА ТРЕТЬЯ

МНОГОГРАННИКИ

1. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И ПИРАМИДА

Свойства граней и диагоналей параллелепипеда

72. Теорема. В параллелепипеде:

1) противоположные грани равны и параллельны;

2) все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

1) Грани (черт. 80) ВВ₁С₁С и AA₁D₁D параллельны, потому что две пересекающиеся прямые ВВ₁ и В₁С₁ одной грани параллельны двум пересекающимся прямым АА₁ и A₁D₁ другой (§ 15); эти грани и равны, так как В₁С₁ = A₁D₁, В₁В= А₁А (как противоположные стороны параллелограммов) и /  ВВ₁С₁= /  АA₁D₁.

2) Возьмём (черт. 81) какие-нибудь две диагонали, например АС₁ и ВD₁, и проведём вспомогательные прямые АD₁ и ВС₁.

Так как рёбра АВ и D₁С₁ соответственно равны и параллельны ребру DС, то они равны и параллельны между собой; вследствие этого фигура АD₁С₁В есть параллелограмм, в котором прямые С₁А и ВD₁ —диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам.

Возьмём теперь одну из этих диагоналей, например АС₁, с третьей диагональю, положим, с В₁D. Совершенно так же мы можем доказать, что они делятся в точке пересечения пополам. Следовательно, диагонали B₁D и АС₁ и диагонали АС₁ и BD₁ (которые мы раньше брали) пересекаются в одной и той же точке, именно в середине диагонали
АС₁. Наконец, взяв эту же диагональ АС₁ с четвёртой диагональю А₁С, мы также докажем, что они делятся пополам. Значит, точка пересечения и этой пары диагоналей лежит в середине диагонали АС₁. Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной и той же точке и делятся этой точкой пополам.

73. Теорема. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали (АС₁, черт. 82) равен сумме квадратов трёх его измерений.

Проведя диагональ основания АС, получим треугольники АС₁С и АСВ. Оба они прямоугольные: первый потому, что параллелепипед прямой и, следовательно, ребро СС₁ перпендикулярно к основанию; второй потому, что параллелепипед прямоугольный и, значит, в основании его лежит прямоугольник. Из этих треугольников находим:

АС₁² = АС² + СС₁²    и      АС² = АВ² + ВС²

Следовательно,

AC₁² = АВ² + ВС² + СС₁² = АВ² + AD² + АА₁².

Следствие. В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.