ГЛАВА ТРЕТЬЯ

МНОГОГРАННИКИ

1. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И ПИРАМИДА

Боковая поверхность призмы и пирамиды¹

¹ В § 78—81, а также и в дальнейшем ради краткости термин "боковая поверхность" употребляется вместо "площадь боковой поверхности".

78. Теорема. Боковая поверхность призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Перпендикулярным сечением (черт. 85) называется многоугольник abcde, получаемый от пересечения призмы плоскостью, перпендикулярной к боковому ребру. Стороны этого многоугольника перпендикулярны к ребрам (§ 31, 24).

Боковая поверхность призмы представляет собой, сумму площадей параллелограммов; в каждом из них за основание можно взять боковое ребро, а за высоту—сторону перпендикулярного сечения. Поэтому боковая поверхность призмы равна:

АА₁• аb + ВВ₁• bc + CC₁• cd + DD₁ • de +  EE₁ • ea = (ab + bc + cd + de + ea) • AA₁

79. Следствие. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту потому, что в такой призме за перпендикулярное сечение можно взять само основание, а боковое ребро её равно высоте.

80. Теорема. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению периметра основания на половину апофемы.

Пусть (черт. 86) SABCDE — правильная пирамида и SM— её апофема. Боковая поверхность этой пирамиды есть сумма площадей равных равнобедренных треугольников. Площадь одного из них, например АSВ, равна АВ• ¹/₂SМ. Если всех треугольников n, то боковая поверхность равна:

АВ• ¹/₂SМ • п =АВ• п • ¹/₂SМ,

где АВ• п  есть периметр основания, а   SM — апофема.

81. Теорема. Боковая поверхность правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров обоих оснований на апофему.

Боковая поверхность правильной усечённой пирамиды есть сумма площадей  равных  трапеций.  Площадь одной трапеции,  например, АabВ (черт. 86), равна
¹/₂(АB + аb) Мт. Если число всех трапеций есть n, то боковая поверхность равна:

где АВ• п и аb • п суть периметры нижнего и верхнего оснований.