ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ
КРУГЛЫЕ ТЕЛА
1. ЦИЛИНДР И КОНУС
105. Поверхность вращения. Поверхностью вращения называется поверхность, которая получается от вращения какой-нибудь линии (MN, черт. 121), называемой образующей, вокруг неподвижной прямой {АВ), называемой осью, при этом предполагается, что образующая (MN) при своём вращении неизменно связана с осью (АВ).
Возьмём на образующей какую-нибудь точку Р и опустим из неё на ось перпендикуляр РО. Очевидно, что при вращении не изменяются ни длина этого перпендикуляра, ни величина угла АОР, ни положение точки О. Поэтому каждая точка образующей описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна к оси АВ и центр которой лежит на пересечении этой плоскости с осью. Отсюда следует:
Плоскость, перпендикулярная к оси, пересекаясь с поверхностью вращения, даёт в сечении окружность.
Всякая секущая плоскость, проходящая через ось, называется меридиональной плоскостью, а линия её пересечения с поверхностью вращения —меридианом. Все меридианы равны между собой, потому что при вращении каждый из них проходит через то положение, в котором ранее был исякий другой меридиан,
106. Цилиндрическая поверхность. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, производимая движением прямой (АВ, черт. 122), перемещающейся в пространстве параллельно данной прямой и пересекающей при этом данную линию (МN). Прямая АВ называется образующей, а линия МN—направляющей.
107. Цилиндр. Цилиндром называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями (черт. 123).
Часть цилиндрической поверхности, заключённая между плоскостями, называется боковой поверхностью, а части плоскостей, отсекаемые этой поверхностью, — основаниями цилиндра. Расстояние между плоскостями оснований есть высота цилиндра. Цилиндр называется прямым или наклонным, смотря по тому, перпендикулярны или наклонны к основаниям его образующие.
Прямой цилиндр (черт. 124) называется круговым, если его основания— круги.
Такой цилиндр можно рассматривать как тело, происходящее от вращения прямоугольника ОАА1 вокруг стороны ОО1 как оси; при этом сторона АА1 описывает боковую поверхность, а стороны ОА и O1A1 — круги оснований. Всякий отрезок ВС, параллельный ОА, описывает также круг, плоскость которого перпендикулярна к оси. Отсюда следует:
Сечение прямого кругового цилиндра плоскостью, параллельной основаниям, есть круг.
В элементарной геометрии рассматривается только прямой круговой цилиндр; для краткости его называют просто цилиндром. Иногда приходится рассматривать такие призмы, основания которых— многоугольники, вписанные в основания цилиндра или описанные около них, а высоты равны высоте цилиндра; такие призмы называются вписанными в цилиндр или описанными около него.
108. Коническая поверхность. Конической поверхностью называется поверхность, производимая движением прямой (АВ, черт. 125), перемещающейся в пространстве так, что она при этом постоянно проходит через неподвижную точку (S) и пересекает данную линию (МN). Прямая АВ называется образующей, линия МN—направляющей, а точкa S —вершиной конической поверхности.
109. Конус. Конусом называется тело, ограниченное частью конической поверхности, расположенной по, одну сторону от вершины, и плоскостью, пересекающей все образующие по ту же сторону от вершины (черт. 126). Часть конической поверхности, ограниченная этой плоскостью, называется боковой поверхностью, а часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью, — основанием конуса. Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, называется высотой конуса.
Конус называется прямым круговым, если его основание есть круг, а высота проходит через центр основания (черт. 127). Такой конус можно рассматривать как тело, происходящее от вращения прямоугольного треугольника SOA вокруг катета SO как оси. При этом гипотенуза SA описывает боковую поверхность, а катет ОА—основание конуса. Всякий отрезок ВО1, параллельный ОА, описывает при вращении круг, плоскость которого перпендикулярна к оси. Отсюда следует;
Сечение прямого кругового конуса плоскостью, параллельной основанию, есть круг.
В элементарной геометрии рассматривается только прямой круговой конус, который для краткости называется просто конусом.
Иногда приходится рассматривать такие пирамиды, основания которых суть многоугольники, вписанные в основание конуса или описанные около него, а вершина совпадает с вершиной конуса. Такие пирамиды называются вписанными в конус или описанными около него.
110. Усечённый конус. Так называется часть полного конуса, заключённая между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.
Круги, по которым параллельные плоскости пересекают конус, называются основаниями усечённого конуса.
Усечённый конус (черт. 128) можно рассматривать как тело, происходящее от вращения прямоугольной трапеции ОАА1О1 вокруг стороны ОО1, перпендикулярной к основаниям трапеции.