ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ

КРУГЛЫЕ ТЕЛА

Поверхность цилиндра и конуса

111. Определения. Боковые поверхности цилиндра и конуса принадлежат к поверхностям кривым, т. е. к таким, никакая часть которых не может совместиться с плоскостью. Поэтому мы должны особо определить, чтo надо разуметь под величиной боковой поверхности цилиндра или конуса, когда сравнивают эти поверхности с плоской единицей площади. Мы будем придерживаться следующих определений:

1) За величину боковой поверхности цилиндра принимают предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот цилиндр правильной призмы, когда число сторон правильного многоугольника, вписанного в основание, неограниченно удваивается (и, следовательно, площадь каждой боковой грани неограниченно убывает).

2) За величину боковой поверхности конуса (полного или усечённого) принимается предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот конус правильной пирамиды (полной или усечённой), когда число сторон правильного многоугольника, вписанного в основание, неограниченно удваивается (и, следовательно, площадь каждой боковой грани неограниченно убывает).

112. Теорема. Боковая поверхность цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.

Впишем в цилиндр (черт. 129) какую-нибудь правильную призму.

Обозначим буквами р и Н числа, выражающие длины периметра основания и высоты этой призмы. Тогда боковая поверхность её выразится произведением р• Н. Предположим теперь, что число сторон вписанного в основание многоугольника неограниченно возрастает.

Тогда периметр р будет стремиться к пределу, принимаемому за длину С окружности основания, а высота Н останется без изменения; следовательно, боковая поверхность призмы, равная всегда произведению р• Н, будет стремиться к пределу С• Н. Этот предел и принимается за величину боковой поверхности цилиндра. Обозначив боковую поверхность цилиндра буквой S, можем написать:

S = С• Н

113. Следствия. 1) Если R обозначает радиус основания цилиндра, то С = 2πR, поэтому боковая поверхность цилиндра выразится формулой:

S = 2πR• Н

2) Чтобы получить полную поверхность цилиндра, достаточно приложить к боковой поверхности сумму площадей двух оснований; поэтому, обозначай полную поверхность через Т, будем иметь:

Т =  2πRН + πR² + πR² = 2πR(Н + R),

114. Теорема. Боковая поверхность конуса равна произведению длины окружности основания на половину образующей.

Впишем в конус (черт. 130) какую-нибудь правильную пирамиду и обозначим буквами р и l числа, выражающие длины периметра основания и апофемы этой пирамиды.

Тогда боковая поверхность её выразится произведением ¹/₂ р• l .

Предположим теперь, что число сторон вписанного в основание многоугольника неограниченно возрастает. Тогда периметр р будет стремиться к пределу, принимаемому за длину С окружности основания, а апофема l будет иметь пределом образующую конуса (так как из /\ SAK следует, что SA — SK< AK); значит, если образующую конуса обозначим буквой L, то боковая поверхность вписанной пирамиды, постоянно равная
¹/₂ р• l, будет стремиться к пределу ¹/₂С• L. Этот предел и принимается  за величину боковой поверхности конуса. Обозначив боковую поверхность конуса буквой S, можем написать:

S = ¹/₂С• L = С• ¹/₂L

115. Следствия. 1) Так как С = 2πR, то боковая поверхность конуса выразится формулой:

S = ¹/₂• 2πR • L = πRL

2) Полную поверхность конуса получим, если боковую поверхность сложим с площадью основания; поэтому, обозначая полную поверхность через Т, будем иметь:

T = πRL + πR² = πR(L + R).

116. Теорема. Боковая поверхность усечённого конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

Впишем в усечённый конус (черт. 131) какую-нибудь правильную усечённую пирамиду и обозначим буквами р, р₁ и l числа, выражающие в одинаковых линейных единицах длины периметров нижнего и верхнего оснований и апофемы этой пирамиды.

Тогда боковая поверхность вписанной пирамиды равна  ¹/₂ (р +  р₁) • l 

При неограниченном возрастании числа боковых граней вписанной пирамиды периметры р и р₁ стремятся к пределам, принимаемым за длины С и С₁ окружностей оснований, а апофема l имеет пределом образующую L усечённого конуса. Следовательно, величина боковой поверхности вписанной пирамиды стремится при этом к пределу, равному     (С + С₁) L.  Этот предел и принимается за величину боковой поверхности усечённого конуса. Обозначив боковую поверхность усечённого конуса буквой S, будем иметь:

S =  ¹/₂ (С + С₁) L

117. Следствия. 1) Если R и R₁ означают радиусы окружностей нижнего и верхнего оснований, то боковая поверхность усечённого конуса будет:

S =  ¹/₂ (2πR + 2πR₁) L = π (R + R₁) L.

2) Если в трапеции ОО₁А₁А (черт. 131), от вращения которой получается усечённый конус, проведём среднюю линию ВС, то получим:

ВС = ¹/₂(OA + O₁A₁) = ¹/₂ • (R + R₁),

откуда

R + R₁ = 2ВС.

Следовательно,

S = 2πBC• L,

т. е. боковая поверхность усечённого конуса равна произведению длины окружности среднего сечения на образующую.

3) Полная поверхность Т усечённого конуса выразится так:

T = π ( R² + R₁² + RL + R₁L)

118. Развёртка цилиндра и конуса. Впишем в цилиндр (черт. 132) какую-нибудь правильную призму и затем вообразим, что боковая её поверхность разрезана вдоль бокового ребра.

Очевидно, что, вращая её грани вокруг рёбер, мы можем развернуть эту поверхность в плоскую фигуру без разрыва и без складок. Тогда получится то, что называется развёрткой боковой поверхности призмы. Она представляет собой прямоугольник КLМN, составленный из стольких отдельных прямоугольников, сколько в призме боковых граней. Основание его МN равно периметру основания призмы, а высота КN есть высота призмы.

Вообразим теперь, что число боковых граней вписанной призмы неограниченно удваивается; тогда её развёртка будет всё удлиняться, приближаясь к предельному прямоугольнику КРQN, у которого длина основания равна длине окружности основания цилиндра, а высота есть высота цилиндра. Этот прямоугольник называется развёрткой боковой поверхности цилиндра.

Подобно этому вообразим, что в конус вписана какая-нибудь правильная пирамида (черт. 133).

Мы можем разрезать её боковую поверхность по одному из рёбер и затем, повёртывая грани вокруг рёбер, получить её плоскую развёртку в виде многоугольного сектора SKL, составленного из стольких равнобедренных треугольников, сколько в пирамиде боковых граней. Отрезки SK, Sа,  Sb, ... равны боковому ребру пирамиды (или образующей конуса), а длина ломаной Kаb...L равна периметру основания пирамиды. При неограниченном удвоении числа боковых граней вписанной пирамиды развёртка её увеличивается, приближаясь к предельному сектору SKM, у которого длина дуги KМ равна длине окружности основания, а радиус SK равен образующей конуса. Этот сектор называется развёрткой боковой поверхности конуса.

Подобно этому можно получить развёртку боковой поверхности усечённого конуса (черт. 133) в виде части кругового кольца KМNР. Легко видеть, что боковая поверхность цилиндра или конуса равна площади соответствующей развёртки.