ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ

КРУГЛЫЕ ТЕЛА

II ШАР

Поверхность шара и его частей

134. Определения. 1) Часть шаровой поверхности (черт. 141), отсекаемая от неё какой-нибудь плоскостью (АА₁), называется сегментной поверхностью.

Окружность АА₁ называется основанием, а отрезок КМ радиуса, перпендикулярного к плоскости сечения,— высотой сегментной поверхности.

2) Часть шаровой поверхности, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями (АА₁ и ВВ₁), называется шаровым поясом или зоной.

Окружности сечений АА₁ и ВВ₁ называются основаниями, а расстояние KL между параллельными плоскостями — высотой пояса.

Шаровой пояс и сегментную поверхность можно рассматривать как поверхность вращения, в то время как полуокружность MABN, вращаясь вокруг диаметра MN, описывает шаровую поверхность, часть её АВ описывает пояс, а часть МА— сегментную поверхность.

Для нахождения величины шаровой поверхности и её частей мы докажем следующую лемму:

135. Лемма. Боковая поверхность каждого из трёх тел: конуса, усечённого конуса и цилиндра — равна произведению высоты тела на длину окружности, у которой радиус есть перпендикуляр, восставленный к образующей из её середины до пересечения с осью.

1) Пусть конус образуется (черт. 142) вращением треугольника ABC вокруг катета АС. Если D есть середина образующей АВ, то (§ 115)

боковая поверхность конуса = 2π • ВС • AD.       (1)

Проведя DE _|_ АВ, получим два подобных треугольника ABC и ADE (они прямоугольные и имеют общий угол А); из их подобия выводим:

ВС : ЕD = АС : АD,

откуда

ВС • AD = ЕD • АС,

и равенство (1) даёт: »

боковая поверхность конуса = 2π • ЕD • АС,

что и требовалось доказать.

2) Пусть усечённый конус (черт. 143) образуется вращением трапеции АВСD вокруг стороны АD.

Проведя среднюю линию ЕР, будем иметь (§ 117):

боковая поверхность усечённого конуса = 2π  • ЕF • ВС.       (2)

Проведём ЕG _|_ ВС и ВН _|_ DС; тогда получим два подобных треугольника ЕFG и ВСН (стороны одного перпендикулярны к сторонам другого); из их подобия выводим:

ЕF : ВН = ЕG : ВС,

откуда

ЕF • ВС = ВН • ЕG = АD • ЕG.

Поэтому равенство (2) можно записать так:

боковая поверхность усечённого конуса = 2π  • ЕG • АD,

что и требовалось доказать.

3) Теорема остаётся верной и в применении к цилиндру, так как окружность, о которой говорится в теореме, равна окружности основания цилиндра.

136. Определение. За величину поверхности шарового пояса, образуемого вращением (черт. 144) какой-нибудь части (ВЕ) полуокружности вокруг диаметра (АF), принимают предел, к которому стремится поверхность, образуемая вращением вокруг того же диаметра правильной  вписанной ломаной  линии (ВСDЕ), когда  её стороны неограниченно уменьшаются (и, следовательно, число сторон неограниченно увеличивается).

Это определение распространяется и на сегментную поверхность, и на шаровую поверхность; в последнем случае ломаная линия вписывается в целую полуокружность.

137. Теоремы. 1) Сегментная поверхность равна произведению её высоты на длину окружности большого круга.

2) Поверхность шарового пояса равна произведению его высоты на длину окружности большого круга.

1) Впишем в дугу AF (черт. 145), образующую при вращении сегментную поверхность, правильную ломаную линию АСDЕF с произвольным числом сторон.

Поверхность, получающаяся от вращения этой ломаной, состоит из частей, образуемых вращением сторон АС, СD, DE и т. д. Эти части представляют собой боковые поверхности или полного конуса (от вращения АС), или усечённого конуса (от вращения СD, ЕF,...), или цилиндра (от вращения DЕ, если DЕ || АВ). Поэтому мы можем применить к ним лемму § 135. При этом заметим, что каждый из перпендикуляров, восставленных из середин образующих до пересечения с oсью, равен апофеме ломаной линии. Обозначив эту апофему буквой а, получим:

поверхность, образованная вращением АС = Ас • 2πа;
 "                       "                        "              СD = сd • 2πа;
 "                       "                        "              DE = de • 2πа;

и т. д.

Сложив эти равенства почленно, найдём:

поверхность, образованная вращением АСDЕF = Аf • 2πа.

При неограниченном увеличении числа сторон вписанной ломаной апофема а стремится к пределу, равному радиусу шара R, а отрезок Аf остаётся без изменения; следовательно, предел поверхности, образованной вращением АСDЕF = Аf  • 2πR. Но предел поверхности, образованной вращением АСDЕF, принимают за величину сегментной поверхности, а отрезок Аf есть высота Н сегментной поверхности; поэтому

сегментная поверхность =  Н • 2πR = 2πRH.

2) Предположим, что правильная ломаная линия вписана не в дугу AF, образующую сегментную поверхность, а в какую-нибудь дугу СF, образующую шаровой пояс (черт. 145). Это изменение, как легко видеть,   нисколько  не влияет  на ход  предыдущих  рассуждений, поэтому и вывод остаётся тот же, т. е. что

поверхность шарового пояса = Н • 2πR = 2πRH,

где буквой Н обозначена высота cf шарового пояса.

138. Теорема. Поверхность шара равна произведению длины окружности большого круга на диаметр,
 или: поверхность шара равна учетверённой площади большого круга.

Поверхность шара, образуемую вращением полуокружности ADB (черт. 145), можно рассматривать как сумму поверхностей, образуемых вращением дуг AD и DB. Поэтому согласно предыдущей теореме можно написать:

поверхность шара = 2πR• Ad + 2πR • dB = 2πR (Ad + dB) = 2πR • 2R=4πR².

139. Следствие. Поверхности шаров относятся, как квадраты их радиусов или диаметров, потому что, обозначая через R и R₁ радиусы,  а  через S и S₁ поверхности двух шаров, будем иметь:

S: S₁  = 4πR² : 4πR₁² = R² : R₁² = 4R² : 4R₁² = (2R)² : (2R₁)².