ДОПОЛНЕНИЕ

ОБ АКСИОМАХ ГЕОМЕТРИИ

1. Геометрия среди других областей математики (алгебра, арифметика) выделяется одной, только ей присущей особенностью. Эта особенность состоит в том, что те теоремы и свойства фигур, которые изучаются в геометрии, не только устанавливаются путём ряда рассуждений, но во многих случаях могут служить объектом непосредственного созерцания; справедливость этих свойств не только доказывается, но и подтверждается непосредственным зрительным впечатлением. Так, равенство углов при основании равнобедренного треугольника и многие другие свойства фигур можно непосредственно созерцать.

Наглядность геометрических объектов помогает обнаруживать и угадывать многие геометрические факты прежде, чем они будут точно доказаны. Непосредственное созерцание геометрических фигур у древних египтян (за 2000 лет до нашей эры) служило главным способом убеждаться в наличии тех или иных их свойств. Но такой способ мог быть пригоден лишь для установления простейших геометрических фактов; с такими именно фактами и имели дело египтяне, которые пользовались геометрией для узкопрактических целей. Но уже простое расширение и усложнение практических задач привело к необходимости изучать свойства всё более сложных геометрических фигур, а для этого уже недостаточно было простого созерцания чертежа; появилась необходимость применять всё более сложные формы рассуждений.

Кроме того, сама наглядность чертежа в применении к более сложным геометрическим фигурам часто весьма обманчива и приводит иногда к неверным заключениям.

Можно привести много примеров, когда общий вид чертежа подсказывает неверное заключение о взаимном расположении и свойствах изображённых на нём фигур. На этом основано много геометрических парадоксов, приводить которые мы здесь не будем.

Древние греки, воспринявшие геометрическую науку от египтян, обобщили отдельные факты, известные египтянам, и выработали определённые формы рассуждений, при помощи которых они обнаруживали новые геометрические факты. Приблизительно за 300 лет до начала нашей эры греческий геометр Евклид в ряде своих книг, носивших общее название "Начала", дал первое научное обоснование геометрии.

Он постарался в достаточно отчётливых терминах выразить словами те общие представления о простейших геометрических образах: точках, линиях, поверхностях и о взаимоотношениях между ними, которые считались до того времени само собой понятными, базируясь на этом, он дал полное, логически строгое построение геометрии по форме, в высшей степени совершенное и с точки зрения современной науки.

Он прежде всего попытался дать точные определения основных геометрических понятий: точки, линии, в частности прямой линии, поверхности, в частности плоскости и геометрического тела. Приведём данные им определения:

1. Точка есть то, что не имеет частей.
 2. Линия есть длина без ширины.
 3. Границы линии суть точки.
 4. Прямая линия есть та, которая одинаково расположена относительно всех своих точек.
 5. Поверхность есть то, что имеет длину и ширину.
 6. Г раницы поверхности суть линии.
 7. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена относительно всех своих прямых.
 8. Телом называется то, что имеет длину, ширину и глубину.
 9. Границы тела суть поверхности.
 

Целью этих определений было достигнуть того, чтобы термины "точки", "прямая" и т. д. не только вызывали определённое зрительное представление, но одновременно с тем определяли некоторое понятие, опираясь на которое можно было бы делать дальнейшие логические выводы. И хотя эти определения несовершенны с точки зрения современной науки, но они вполне соответствовали тогдашнему состоянию научной мысли и являлись первым шагом к переходу от образов к понятиям. Они послужили отправным пунктом всех последующих работ по геометрии и определили собой пути её дальнейшего развития.

Все истины, которые устанавливаются в геометрии, Евклид разделил на три вида: постулаты, аксиомы и теоремы. К первым двум видам¹⁾ были отнесены простейшие истины, которые не возбуждали никаких сомнений, были непосредственно очевидны и могли поэтому служить исходными предложениями, из которых логически выводились другие истины.

¹⁾Принципиальной разницы между теми и другими Евклид не указывает, но с постулатами он обычно связывает утверждение возможности выполнить то или иное построение.

Третий вид предложений—теоремы—истины, которые должны доказываться, т. е. путём ряда рассуждений выводиться из двух первых видов истин. Приведём постулаты и аксиомы Евклида.

а) Постулаты. Требуется, чтобы:

1) от каждой точки до каждой другой точки можно было провести одну прямую линию;
 2) ограниченную прямую можно было непрерывно продолжать по прямой;
 3) из любого центра можно было описать окружность любым радиусом;
 4) все прямые углы были равны между собой;
 5) две прямые, которые при пересечении с третьей образуют с ней по одну сторону внутренние углы, в сумме меньшие двух прямых, при продолжении в ту же сторону пересекались.

б) Аксиомы:

1) равные одному и тому же равны между собой;
 2) если к равным прибавить поровну, то суммы будут равны;
 3) если от равных отнять поровну, то остатки будут равны;
 4) совмещающиеся друг с другом равны;
 5) целое больше своей части.
 

Эти аксиомы и постулаты Евклида в течение долгого ряда последующих столетий служили базой, на которой строилась вся  геометрия.

2. Уже ближайшие потомки Евклида обратили особое внимание на пятый из данных Евклидом постулатов. Он привлекал к себе внимание сложностью своей формулировки и далеко не полной очевидностью. Эта неочевидность вызвала стремление так или иначе доказать справедливость постулата, т. е. вывести его из остальных, не возбуждающих сомнений истин. Попытки дать доказательство пятого постулата продолжались в течение 2000 лет, но не привели и, как оказалось впоследствии, не могли привести к положительному результату. Удавалось лишь заменить постулат другим предложением, ему равносильным, но столь же неочевидным и не вытекавшим из остальных геометрических аксиом и постулатов.

Легко показать, что постулат Евклида равносилен утверждению, что в данной плоскости через каждую точку к каждой прямой можно провести единственную прямую, ей параллельную (т. е. не пересекающую данной). Действительно, если принять это положение как аксиому, то из теорем, доказанных в планиметрии, непосредственно вытекает постулат Евклида. Это предложение о единственности параллельной прямой и принимается обычно как аксиома вместо постулата Евклида (как это сделано в настоящей книге). Другим предложением, равносильным постулату Евклида, является теорема а сумме углов треугольника.

Усилия геометров в течение ряда веков были направлены на то, чтобы доказать или самый постулат Евклида, или предложение, ему равносильное. Приведём здесь для иллюстрации несколько таких доказательств.

Доказательство Прокла (в V в. нашей эры). Возьмём на данной плоскости прямую а и точку А вне её (черт. 156).

Опустим из А перпендикуляр АВ на прямую а и в точке А восставим перпендикуляр АС к прямой  АВ. Прямые а и АС не пересекаются, иначе из точки их пересечения было бы опущено на прямую АВ два перпендикуляра. Пусть теперь через А проведена ещё какая-либо прямая АВ. Прокл доказывает, что она должна встретиться с прямой а. Вот его доказательство.

Будем восставлять перпендикуляры к прямой АС и продолжать их до пересечения с прямой АВ. По мере удаления основания перпендикуляра от точки А его длина будет расти, и при достаточном удалении от точки А она станет больше расстояния между параллельными прямыми а и АС. Соответствующие точки прямой АВ окажутся, таким образом, лежащими по другую сторону прямой а, т. е. прямая AD перейдёт с одной стороны а на другую. А это может случиться только, если она пересечёт прямую а.

В этом своём доказательстве Прокл опирается на то положение, что расстояние точек одной из двух параллельных прямых от другой не может беспредельно возрастать. Но это положение само есть некоторый постулат, равносильный постулату Евклида.

Приведём ещё пример попытки доказательства теоремы о сумме углов треугольника без помощи свойств параллельных прямых. Это доказательство относится уже к XIX в. и принадлежит профессору Геттингенского  университета  Thibaut   (Тибо).  

Пусть дан /\  ABC (черт. 157).

Продолжим сторону СА за точку А, сторону АВ за точку В и сторону ВС за точку С. Докажем, что образовавшиеся внешние углы составляют в сумме 4d. Вращаем прямую АС около точки А на величину внешнего угла А. После этого поворота она совпадает с прямой АВ. Вращаем далее эту прямую около точки В от её нового положения на величину внешнего угла В; после поворота она совпадает с прямой ВС. Вращаем теперь эту прямую около точки С от её последнего положения на величину внешнего угла С. После этих трёх поворотов прямая вернётся в исходное положение. Следовательно, в общей сложности она повернётся на полный угол, т. е. на 4d, но три её поворота состояли из поворотов на величины трёх внешних углов треугольника. Следовательно, сумма этих внешних углов равна 4d. Но сумма и внешних и внутренних углов треугольника, очевидно, равна 6d. Следовательно, сумма его внутренних углов равна 6d — 4d = 2d.

В этом доказательстве Тибо производил три поворота прямой около различных точек и молчаливо предполагал, что такое вращение равносильно полному повороту около одного центра, когда прямая описывает полный угол.

Такое предположение само составляет некоторое допущение. Подробное изучение этого допущения показывает, что оно равносильно постулату Евклида. Мы не будем приводить других попыток доказательства пятого постулата.

Несмотря на многочисленные неудачи получить строгое доказательство постулата Евклида, попытки его доказательства не прекращались, и причиной этого была полная убеждённость геометров в  невозможности обойтись без  него  при  построении  геометрии.

3. В первой половине XIX в. гениальный русский математик, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский высказал смелую мысль, что постулат Евклида не является логическим следствием остальных аксиом геометрии и потому не может быть доказан и что принятие этого постулата не является необходимым для построения  геометрии.

В подтверждение своей мысли он построил новую геометрию, в которой постулат Евклида был заменён другим предложением, а именно, что через данную точку в данной плоскости можно провести бесчисленное множество прямых, не пересекающих данной.

Предложения этой геометрии существенно отличались от теорем геометрии Евклида. Так, сумма углов треугольника оказалась меньше двух прямых углов, к теоремам о равенстве треугольников присоединилась новая: „Треугольники равны, когда три угла одного равны трём углам другого". В этой геометрии, следовательно, не существует треугольников, подобных и неравных между собой.

Первый доклад о созданной им новой геометрии Лобачевский сделал в 1826. г.. Идеи Лобачевского были в высшей степени новыми и неожиданными. Несмотря на всю непривычность таких предложений новой геометрии, она имела такую же стройную и законченную форму, как и геометрия Евклида. Впоследствии ей было дано название неевклидовой геометрии. Одновременно с её открытием возник вопрос: какая же геометрия имеет место в действительном материальном мире и какой геометрией следует пользоваться при решении проблем прикладного знания—физики, астрономии и др.? Лобачевский пытался решить этот вопрос опытным путём— астрономическими наблюдениями.

Но решить этот вопрос столь простыми средствами оказалось невозможным. Дело в том, что наши пространственные восприятия не обладают абсолютной точностью и лишь приблизительно отражают пространственные отношения материального мира.

Геометрия Евклида выросла из наблюдений над материальным миром и потому с большой точностью отражает существующие в нём взаимоотношения, по крайней мере в их простейших проявлениях. В силу этого опыты Лобачевского не дали исчерпывающего ответа на поставленный вопрос: они не обнаружили заметных отклонений от того, что давала геометрия Евклида, но и не установили абсолютного совпадения предложений этой геометрии с пространственными взаимоотношениями материального мира.

Открытие неевклидовой геометрии произвело глубокие изменения в сознании геометров. Самый факт существования стройной и непротиворечивой неевклидовой геометрии подрывал вековое доверие к "наглядности" и "очевидности", руководившим мыслью древних геометров. Многовековой анализ пятого постулата расшатал устои первичных геометрических представлений, на которых покоилась геометрия Евклида. Он вскрыл глубокие зависимости между отдельными, казавшимися далёкими одни от других геометрическими фактами и представил в новом свете пространственные взаимоотношения материального мира. Поэтому система аксиом и определений Евклида как база для построения геометрии стала уже недостаточной. В свете новых идей его определения и аксиомы обнаружили недостаточную полноту и не могли уже отвечать возросшим требованиям научной строгости.

Такое, например, определение, как "линия есть длина без ширины", не могло уже удовлетворить геометров, так как в их сознании сами понятия длины и ширины уже утратили тот характер абсолютной ясности и первоначальности, который они имели во времена Евклида. Для геометров нового времени многие определения Евклида не имели силы без некоторых дополнительных предположений, которые явно не высказывались, но молчаливо и незаметно принимались сознанием древних геометров. Иначе трудно объяснить, почему, например, определение 4 нельзя применить к окружности и определение 7 — к поверхности круглого цилиндра или конуса.

Требование большей полноты геометрических определений и аксиом привело к тому, что в конце XIX в. была поставлена задача общего пересмотра и уточнений всей аксиоматической базы геометрии. Эти работы привели к созданию новой аксиоматики геометрии, вполне отвечающей   современным требованиям   математической  строгости.

Ниже мы даём краткое изложение современного состояния этого вопроса.

4. Прежде всего поставим вопрос об определении основных геометрических образов: точка, прямая линия и плоскость. Заметим, что определить какое-нибудь понятие — значит выразить его через понятия, ранее уже установленные. Если же искать определение простейших понятий, то дело неизбежно сведётся лишь к замене одного термина другим, в свою очередь требующим определения. Так и было у Евклида, который понятие, "линии" определил через понятие "длины" или "границы", а эти последние не определял.

Поэтому можно с самого начала не искать определения простейших геометрических понятий, а принять их за исходные, которые нельзя уже выразить через понятия более простые. "Точка", "прямая" и "плоскость" и принимаются за такие первичные, неопределимые геометрические понятия. По отношению к ним устанавливается целая система основных положений, "аксиом", принимаемых за исходные недоказуемые положения. По существу эти аксиомы представляют собой лишь целесообразные абстракции пространственных взаимоотношений материального мира.

Мы приведём здесь ту систему аксиом, которая была дана немецким математиком Гильбертом. В этой системе все аксиомы геометрия разделяются на 5 групп.

Первая группа аксиом — "аксиомы соединения". Аксиомы этой группы имеют целью установить те взаимоотношения между понятиями точка, прямая и плоскость, которые обычно характеризуются словами: "прямая проходит через точку", "точка лежит на прямой или на плоскости" и т. п. Эта группа состоит из следующих аксиом:

1. Две точки определяют единственную проходящую через них прямую.
 2. На каждой прямой лежит не менее двух точек; существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
 3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. В каждой плоскости лежит по крайней мере одна точка.
 4. Если две точки прямой линии лежат в данной плоскости, то и все точки этой прямой лежат в той же плоскости.
 5. Если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют и ещё по крайней мере одну общую точку.
 6. Существует по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

При первом взгляде на эти аксиомы некоторые из них могут показаться или недостаточными, или вообще ненужными. Так, аксиома 2 как бы противоречит обычному представлению о прямой, на которой мы мыслим бесчисленное множество точек. Не следует забывать, что точки и прямые введены у нас как первичные, не зависящие одно от другого понятия. Они могут существовать раздельно. Поэтому, когда мы говорили, что точка лежит на прямой или что прямая проходит через точку, мы приписывали точке и прямой способность находиться между собой в некотором взаимоотношении. Чтобы яснее представить себе такое раздельное существование точек, прямых и плоскостей и взаимоотношения между ними, будем их представлять себе в виде конкретных физических предметов. Точки будем представлять себе в виде горошин какой-нибудь определённой величины. Эти горошины будем предполагать шарообразной формы и достаточно мягкими (например, разбухшими в воде), чтобы их можно было прокалывать тонкими иглами и резать на части. Прямые линии будем представлять в виде очень тонких стальных иголок, а плоскости—в виде столь же тонких пластинок. Сначала эти пластинки, иглы и горошины представляем себе ничем не связанными и даже находящимися в разных местах: в одном месте—кучка гороха, в другом—груда стальных игл, в третьем—пачка сложенных пластинок. Начнём теперь подчинять их тем условиям, которые содержатся в наших аксиомах. Мы будем считать, что точка лежит на прямой, если игла прокалывает горошину или хотя бы частично входит в неё. Будем считать, что точка лежит на плоскости, если тонкая пластинка режет горошину пополам или лишь надрезает горошину. Наконец, будем считать, что прямая лежит на плоскости, если тонкая игла служит краем пластинки, т. е. если игла прилегает на всём протяжении к краю пластинки, не выдаваясь от неё ни в ту, ни в другую сторону. Что означают при этих условиях аксиомы? Они требуют, чтобы наши горошины, иглы и пластинки приняли такое расположение в пространстве, чтобы каждые две горошины были проколоты по крайней мере одной иглой или нанизаны на одну иглу (акс. 1); каждая игла прокалывала не менее двух горошин (акс. 2); каждые три горошины были разрезаны (или надрезаны) одной пластинкой и чтобы каждая пластинка надрезала по крайней мере одну горошину (акс. 3); если две горошины, нанизанные на одну иглу, надрезать некоторой пластинкой, то и все другие горошины, которые могут оказаться нанизанными на ту же иглу, надрезывались бы той же пластинкой (акс. 4); если две пластинки надрезают одну и ту же горошину, то они надрезали бы по крайней мере ещё одну горошину (акс. 5); имеются по крайней мере четыре горошины, не разрезанные (и не надрезанные) одной и той же пластинкой (акс. 6). Таким условиям должны удовлетворять наши горошины, иглы и пластинки. И такую комбинацию горошин, игл и пластинок нетрудно построить. Действительно, отделим от пачки пластинок четыре пластинки. Обрежем их по краям так, чтобы каждая из них приняла форму равностороннего треугольника определённого размера. Из груды игл возьмём 6 штук и обломаем их концы так, чтобы все иглы стали одной длины, равной стороне треугольной пластинки. Возьмём далее 4 горошины и составим следующую фигуру: из 4 пластинок составим правильный тетраэдр; в пазы между прилегающими краями пластинок вложим иглы, а на вершинах тетраэдра поместим горошины так, чтобы пластинки их надрезали, а иглы прокалывали. Для этой совокупности горошин, игл и пластинок удовлетворяются все поставленные выше требования, т. е. все наши аксиомы.

Из этого примера видно, что множество точек, прямых и плоскостей, удовлетворяющих аксиомам 1-й группы, может быть конечным. В нашем примере мы имеем всего 4 точки, 6 прямых и 4 плоскости.

Вторая группа аксиом — "аксиомы порядка"—имеет целью в отчётливой форме высказать те положения, на которые мы опираемся, когда говорим о том или ином порядке расположения точек на прямой и на плоскости. Главным понятием здесь является расположение на прямой одной точки между двумя другими. Логическое содержание этого понятия и устанавливается аксиомами этой группы. Она состоит из следующих аксиом:

1. Если В лежит между А и С, то А, В и С—различные точки прямой и В лежит также между С и А.
 2. При данных двух точках А и В на прямой линии на ней существует по крайней мере одна точка С такая, что В лежит между А и С.
 3. Из трёх данных точек на прямой не более чем одна лежит между двумя другими.
 4. Если в данной плоскости даны треугольник ABC и какая-либо прямая а, не проходящая ни через одну из его вершин и пересекающая отрезок АВ, то она непременно пересечёт или отрезок ВС, или отрезок АС.

Эти аксиомы предъявляют к нашим точкам, прямым и плоскостям требования, которым они должны удовлетворять. Та совокупность граней, рёбер и вершин тетраэдра, которая удовлетворяла аксиомам 1-й группы, уже не удовлетворяет нашим аксиомам. В самом деле, на каждой нашей игле были нанизаны лишь две горошины, между тем, как вторая аксиома 2-й группы требует, чтобы на прямой было не менее трёх точек. А более подробный анализ показывает, что на каждой прямой должно лежать бесчисленное множество точек и что аксиомам 2-й и 1-й групп, вместе взятым, может удовлетворять лишь бесконечное множество точек, прямых и плоскостей¹⁾.

¹⁾Доказательство этого факта выходит из рамок настоящей книги.

Третья группа аксиом—"аксиомы конгруэнтности" —имеет целью установить основные предложения о равенстве отрезков и углов. Она содержит следующие аксиомы:

1 На любой прямой от любой её точки можно отложить отрезок, равный данному.

2. Два отрезка, равные третьему, равны между собой.

3. Пусть А, В, С—точки одной прямой и A₁, В₁, С₁— также точки одной прямой и
AB =A₁B₁ BC=B₁C₁; если отрезки АВ и ВС,  а также A₁B₁ и B₁C₁ не имеют общих точек, то АС = А₁С₁.

4. От любой точки данной прямой по данную её сторону можно построить один и только один угол, равный данному; каждый угол равен самому себе.

5. Если в двух треугольниках ABC и А₁В₁С₁ стороны АВ=A₁B₁, АC=А₁C₁ и
 / BAC=  / B₁A₁С₁, то  / ABC =  / A₁B₁C₁

Следует обратить внимание на последнюю аксиому.

В учебниках геометрии эта аксиома есть следствие второго случая равенства треугольников. Но само это равенство треугольников доказывается путём наложения и, следовательно, предполагает возможность перемещения фигур; такое перемещение само составляет некоторую новую аксиому, и притом не включённую в нашу систему. Поэтому предложение 5 и приходится принимать как новую аксиому. Пользование ею заменяет применение в геометрии метода перемещения фигур.

Четвёртую группу аксиом составляет одна — "аксиома о параллельных прямых". При этом возможность существования параллельных доказывается без помощи новых аксиом. А потому аксиома требует лишь единственности параллельной прямой: через данную точку в данной плоскости можно провести не более одной прямой, не пересекающей данной. Об этой аксиоме мы уже говорили выше.

Наконец, пятую и последнюю группу аксиом составляют "аксиомы непрерывности". Эта группа состоит из двух аксиом:

1. Аксиома Архимеда. Если АВ и CD—два произвольных отрезка, то на прямой АВ существует ряд точек A₁, А₂, А₃, ..., А_п таких, что
АА₁ = А₁А₂ = А₂А₃=  ... =A_п—1A_п = CD и что В будет лежать между A_п—1 и A_п (черт. 158).

2. Аксиома линейной полноты. Точки прямой линии образуют систему точек, которую нельзя дополнить новыми точками, которые можно было бы считать принадлежащими той же прямой, без нарушения ранее установленных аксиом¹⁾.

¹⁾Точнее: без нарушения первых двух аксиом соединения, аксиом порядка, первой аксиомы конгруэнтности и аксиомы Архимеда.

Содержание первой из этих аксиом—аксиомы Архимеда — достаточно ясно: аксиома требует, чтобы каждой точки прямой, как бы далеко она ни была намечена, можно было достигать с помощью конечного числа равных шагов и, следовательно, чтобы можно было измерить расстояние от данной точки до любой точки прямой. Поэтому эту аксиому и называют иногда аксиомой измерения.

Посмотрим, в чём сущность аксиомы линейной полноты.Учащиеся знают из курса алгебры, что если на числовой оси построить все точки с рациональными абсциссами, то этим не исчерпаются все точки прямой; прямая не будет сплошь заполнена этими точками. Так, точки с иррациональными абсциссами ещё не будут построены. Когда вводятся алгебраические иррациональные числа в виде корней всевозможных степеней из рациональных чисел и корней алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами и строятся соответствующие им точки на числовой оси, то числовая ось обогащается новыми точками с иррациональными абсциссами. Но на числовой оси всё ещё остаются пустые места, где ещё могут быть вставлены новые точки. Так, точки с абсциссами π, ^π/₂, ^π/₃, √π  и т. п. не будут нанесены на числовой оси. Ось заполнится вся лишь после того, как будут введены все действительные числа. После этого на ней нельзя будет вставить новую точку. На ней уже не останется пустых мест. Аксиома полноты требует, чтобы именно этим свойством обладала геометрическая прямая: чтобы на ней не осталось ни одного пустого места, куда можно было вставить новую точку.

Принятие этой аксиомы позволяет считать, что каждому действительному числу соответствует определённая точка  на прямой при выбранном начале отсчёта абсцисс и, обратно, каждой точке прямой соответствует определённое действительное число.

Таков перечень всех аксиом, на которых базируется в настоящее время евклидова геометрия.

5. Если теперь провести анализ всего курса элементарной геометрии, то можно будет заметить, что при всех приводимых доказательствах не приходилось опираться ни на какие иные исходные положения, кроме тех, которые заключены в данной выше системе аксиом. Одни из этих положений, как аксиома о параллельных и некоторые из аксиом соединения, были высказаны явно, другие молчаливо считались как само собой разумеющиеся. Аксиомы конгруэнтности были заменены предложением о возможности свободного перемещения фигур в пространстве. Но само это предложение, как показывает более подробный его анализ, является сложной аксиомой, равносильной всей совокупности аксиом конгруэнтности.