ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ  VI

§ 136. Основные теоремы о пределах

Как было отмечено в предыдущем параграфе, не всякая переменная величина а_n имеет предел при п —> ∞. В этом параграфе мы будем рассматривать только такие переменные величины, пределы которых существуют. Для таких величин мы без доказательства   укажем  несколько  важных  теорем.

Теорема 1. Предел константы равен самой этой константе:

c = с.

Говоря о пределе константы с, мы имеем в виду предел числовой последовательности

c, c, c, ..., c, ... ,

все члены которой равны одному и тому же числу с.

Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

(kа_n) = k •   а_n.

Пример.   В § 130 было доказано, что

Поэтому

Теорема 3. Предел суммы двух переменных величин равен сумме пределов этих величин:

(а_n + b_n) = а_n + b_n.

Пример.   В § 130 и 132 было доказано, что

 ,       

Поэтому

Данная теорема верна не только для двух, но и для произвольного фиксированного числа слагаемых. Например,

(а_n + b_n + c_n + d_n) = а_n + b_n+ c_n + d_n

Теорема 4. Предел   произведения двух переменных величин равен произведению пределов этих величин:

(а_n • b_n) = а_n • b_n.

Пример.

И эта теорема верна не только для двух, но и для произвольного фиксированного числа сомножителей.  Например,

(а_n • b_n • c_n • d_n) = а_n • b_n• c_n • d_n

Теорема 5. Предел дроби равен частному от деления предела числителя на предел знаменателя, если только предел знаменателя отличен от нуля:

Пример.    Пусть

в данном случае нельзя, поскольку а_n = 0.

Следует отметить, что, хотя доказательство приведенных теорем выходит за пределы школьной программы, некоторые ученики в состоянии доказать их. Поэтому тем учащимся, которые проявляют к математике особый интерес, мы предлагаем попытаться доказать эти теоремы. А теорему 1 должны  доказать   все.

Замечание. Необходимо напомнить соглашение, которое мы приняли в начале данного параграфа. Мы условились считать, что все рассматриваемые нами переменные величины имеют пределы. Если же это не так, то приведенные выше теоремы теряют смысл. Например, нельзя писать (см. теорему 2)

5n² = 5    n² ,

поскольку предел n², очевидно, не существует.

В заключение мы рассмотрим пример на вычисление предела переменной величины с использованием приведенных выше теорем. Пусть требуется найти

Разделим числитель и знаменатель данной дроби на n². В результате получим:

Теперь, используя приведенные выше теоремы,  получаем:

Здесь мы воспользовались очевидными равенствами:

Упражнения

Найти пределы:

ОТВЕТЫ