ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ  VI

§ 142. Арифметическая прогрессия

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, называется арифметической прогрессией.

Примером арифметической прогрессии является натуральный ряд чисел

1, 2, 3,  ... .

Каждое его число, начиная со второго, равно предыдущему, сложенному с единицей. Другим примером арифметической прогрессии может служить последовательность

3; 1,5; 0; —1,5; —3.....

Каждый член этой последовательности, начиная со второго, равен предыдущему,  сложенному с числом —1,5.

Данное выше определение арифметической прогрессии эквивалентно, очевидно, такому определению: числовая последовательность a₁, a₂, ... , a_n, ... называется арифметической прогрессией, если для любого п

a_n+1 = a_n + d,

где d — некоторое постоянное для данной последовательности число.

Это число d называется разностью прогрессии.

Например, для натурального ряда чисел d равно 1; для арифметической прогрессии 3; 1,5; 0; —1,5; —3; ... разность d равна  —1,5.

Пусть a₁ — первый член арифметической  прогрессии, a d — ее разность.

Тогда по определению арифметической прогрессии

a₂ = a₁ + d,

a₃ = a₂ + d = (a₁ + d) + d = a₁ + 2d,

a₄ = a₃ + d = (a₁ + 2d) + d = a₁+ 3d и т. д.

Очевидно,  что при любом п > 1

.     a_n = a₁+ ( n — l ) d.                                (1)

К формуле (1) можно прийти другим путем, который, кстати, является и более строгим. По определению арифметической прогрессии

a₂ = a₁ + d,
a₃ = a₂ + d,
a₄ = a₃ + d,
...........................
a_n = a_n—1  + d

Складывая почленно эти п — 1 равенств,  получаем:

(a₂ + a₃ + a₄+ ...+ a_n—1) + a_n =  a₁ + (a₂ + a₃ + ... + a_n—2+ a_n—1) + (п — 1)d,

откуда и вытекает формула (1).

Формула (1) позволяет найти любой член арифметической прогрессии, если известны ее первый член и разность. Поэтому она называется формулой общего члена арифметической прогрессии. Например, для арифметической прогрессии

—10; —9,5; —9; ...

a₁ = —10;   d = 0,5.

Поэтому

a₂₁ = a₁ + 20d = —10 + 10 = 0,

a₁₀₀ = a₁ + 99d = —10 + 49,5 = 39,5 и  т.  д.

Упражнения

964. Найти формулу общего члена арифметической прогрессии, для которой:

a) a₁ = 5, a₂ = — 5

б) a₁ = —3,   a₂ = 0;

в) a₁ = 6, a₁₀ = 33;

г) a₄ = —4,  a₁₇ = —17;

д) a₁₀= 0, a₄₀ = — 30.

965. Если к членам одной арифметической прогрессии прибавить соответствующие (по номеру занимаемого места) члены другой арифметической прогрессии, то будет ли полученная последовательность  арифметической  прогрессией?

966.  Доказать, что если числа    составляют арифметическую прогрессию, то числа a², b², с² также     составляют   арифметическую   прогрессию.

967.   Образуют ли  арифметическую прогрессию   положительные корни уравнения, расположенные в порядке возрастания:

a) sin х = 0;         б) sin х = ¹/₂;         в) tg x = ¹/₂ ?

968.   При каких значениях а корни данного уравнения

cos х = а,

расположенные в порядке возрастания, образуют арифметическую прогрессию?

Составить арифметические прогрессии по следующим данным:

ОТВЕТЫ