ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА  I

§ 16 Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом

Средним арифметическим любых п чисел a₁, a₂, ... , a_n называется число

Средним геометрическим п положительных чисел a₁, a₂, ... , a_n называется число

Например, для чисел 2 и 8 средним арифметическим будет число , а средним геометрическим — число √2 •8  = 4. Среднее арифметическое чисел 10, 10 и 80 равно а среднее геометрическое ³√10 •10 • 80  = ³√8000 =20

Для чисел 5, 5 и 5 средним арифметическим будет число, а средним геометрическим ³√5 •5 • 5  = 5.

Заметим, что во всех трех случаях среднее арифметическое оказалось не меньше их среднего геометрического, причем равными они получились лишь в третьем примере, где все рассматриваемые числа равны друг другу. И это не случайно. Имеет место следующая общая теорема.

Теорема. Среднее арифметическое п положительных чисел не меньше их среднего геометрического:

Знак равенства в этой формуле имеет место тогда и только тогда, когда все п чисел a₁, a₂, ... , a_n равны между собой.

В предыдущем параграфе было   показано,   что   для   любых двух положительных чисел а и b справедливо неравенство

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда а = b. Тем самым была доказана теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух положительных чисел. В общем случае доказательство этой теоремы довольно грoмоздко и поэтому здесь не приводится.

Неравенство

верное для любых положительных чисел а и b, было известно еще в древние времена. Рисунок 22   приведен нами для геометрической интерпретации этого  неравенства    На  рисунке

Обобщение данного неравенства на случай произвольного числа положительных чисел (теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом) было получено французским математиком К о ш и (1789—1857). С именем этoro выдающегося ученого связаны и некоторые другие замечательные неравенства, изучение которых, однако, выходит за пределы нашей программы

Пример   1.   Доказать, что для любых чисел a, b и с, имеющих одинаковые знаки,

^a/_b + ^b/_c + ^c/_a  > 3

Действительно, по теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом

откуда и вытекает требуемое соотношение.

Пример   2.   Доказать, что для произвольного положительного числа а справедливо неравенство

99а + 1 > 100 ¹⁰⁰√a⁹⁹  

причем знак равенства имеет место только при а = 1.

Применяя теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом к 100 числам  получаем

откуда вытекает требуемое соотношение. Знак равенства имеет место лишь в том случае, когда все 100 чисел равны между собой,  то есть  при  а = 1.

Из теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом  вытекает  следующее   важное  следствие.

Следствие. Если произведение п положительных чисел равно 1, то их сумма не меньше п. Другими словами, если положительные числа a₁, a₂, ... , a_n удовлетворяют условию

a₁• a₂• ... • a_n= 1,

то

a₁+ a₂+ ... + a_n > n            (1)

Действиательно,

откуда и получается неравенство (1).

На практике соотношение (1) особенно часто используется при п = 2. Сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2:

а + ¹/_a   > 2  (а > 0).

Упражнения

Доказать неравенства  (№ 121—129):

131.   Какое наименьшее значение может принять сумма а² + b², если а + b = 2, причем числа а и b положительные?

132*. Доказать, что при любом натуральном значении п

ОТВЕТЫ