ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ   VIII

§ 185. Переход от одного основания логарифмов к другому

Иногда оказывается полезным от логарифмов по одному основанию (например, а) перейти к логарифмам по другому основанию (например, с). В этом случае пользуются следующей формулой:

                       (1)

При этом предполагается, что a, b и с — положительные числа, причем а и с отличны от единицы.

Пусть, например, нам известно, что  log₁₀ 2 ≈ 0,3010,   log₁₀3 ≈  0,4771. Требуется найти  log₂3.  По формуле (1)

Для доказательства формулы (1) воспользуемся основным логарифмическим  тождеством

= b.

Если положительные числа   равны, то,    очевидно,    равны   и их логарифмы по одному и тому же основанию с. Поэтому

log_c ( ) = log_c b.

Но «по теореме о логарифме степени

log_c ( ) = log_a b • log_c a.

Следовательно,                                                                         ,

log_a b • log_c a = log_c b,

откуда  вытекает формула (1).

Если в формуле (1) в качестве с взять b, то получим:

Упражнения

1414.  Зная,   что   log₁₀ 2 ≈ 0,3010 и log₁₀3 ≈  0,4771,    найти:

a) log₃ 2;          б) log₃ 8;         в) log₃ 12;         г) log₁₂3.

1415.  Доказать,   что   отношения

не зависят от х.

1416.  Доказать  неравенствo:

 log₂ 5 +  log₅ 2 > 2;  

1417.  Изменится ли логарифм числа, если это число   и   основание логарифма возвести в одну и ту же степень?

ОТВЕТЫ