ГЛАВА I.

O ПРЯМОЙ ЛИНИИ.

29. Сравнение величины прямых линий. Две прямые линии   могут   иметь   одинаковую   или  различную   длину;   в первом случае они будут равны, во втором нет.

Возьмем две линии АВ и СD (чер. 36); чтобы узаать, равны ли они, и есл:и нет, то какая из ннх больше, мы должны наложить одну линию на другую, напр. АВ на СD, так, чтобы точка А совпала с С; если при этом и В упадет в D, то линии будут равны.

Если же В упадет, не   доходя   до D (чер. 37), то АВ меньше   СD,   если   наконец   В  упадетъ дальше точки D (чер. 38), то АВ больше СD.

Чтобы сделать такое наложение, надо взять ливию АВ циркулем, т.-е. поставить одну ножку циркуля в А, другую в В, потом нанести циркуль на линию СD, поставить одну ножку его в С и смотреть, куда упадет другая ножка.

30. Сложение прямых линий. Можно сложить несколько линий т, п, р, (чер. 39), т. е. начертить одну линию, которая бы равнялась их сумме.

Для этого берем произвольвую прямую АЕ и от точки А откладываем циркулем линию АС= т, потом от точки С прямую СD = п, наконец от D линию DЕ=р; прямая АЕ и будет = т + п + р.

31. Вычитание прямых линий. Если нужно вычесть одну линию из другой (чер. 40), то откладываем от одного конца большей линии часть АС= меньшей линии DЕ; тогда СВ и будет разность АВ и DЕ; иначе говоря— линия АВ больше DЕ линией СВ.

32. Умножение прямой линии. Умножить значит взять слагаемым нескольно раз или целое множимое, или какую-нибудь часть его; напр. умножить ³/₈ на 5 значит ³/₈  повторить слагаемым 5 раз; умножить 12 на ³/₈ значит восьмую часть 12-ти повторить слагаемым 3 раза. При этому как известно, множитель всегда должен быть числом отвлеченным; поэтому и прямые линии можно умножать только на отвлеченные числа, а нельзя умножать линию на линию. Если требуется прямую АВ (чер. 41) умножить на 3, то стоит только на неопределенной прямой отложить части

MN, NР, РQ, равные АВ; тогда MQ=3AВ и представит произведение АВ на отвлеченное число 3. Если бы иужно было умножить АВ на ³/₅, то для этого надо бы прежде АВ разделить на 5 равных частей и затем одну такую часть увеличить втрое; поэтому умножение прямой линии на дробное число мы можем произвести только тогда, когда будем знать, как делится линия на равные части.

33. Деление прямых линий. При делении бывает два случая: или надо разделить какую-нибудь величину на  другую величину, однородную с первой,   или   же   надо   разделить, величину на отвлеченное число. В первом случае частное будет отвлеченное число, показывающее, во   сколько   раз одна величина больше другой, или какую часть одна   величина составляет от другой;  напр.   разделить   6   фун.  на 2 пуда значит найти, какую часть двух пудов составляют 6 фун.; так как 2 пуда=80 ф., то   6 фун.=⁶/₈₀= ³/₄₀   двух пуд.   Если   же мы делим какую-нибудь  ведичину на отвлеченное число, то или узнаем, как велика будет какая-нибудь часть этой величины (это будет в том случае, когда делитель целое число) , или определяем делую величину по данным её частям (в   случае,   если   делитель будет дробь). Так, деля 3 пуда на 8,   мы   находим 8-ю часть трех пудов—она равна 15 фун.; деля   3   пуда   на ⁸/₉, находим ведичину, которой ⁹/₈ составдяют 3 пуда; для этого, как известно из арифметики, должно 3 пуда умножить на 9 и произведение разделить на 8; тогда и найдем ²⁷/₈=3³/₈ пуда. Так как деление на дробь   есть   действие, составленное из двух действий—деления   на   числитель   и умножения на знаменатель, а умножение прямых  линий  на целое число мы уже показали, то при делении прямых линий нужно рассмотреть только два случая:

1) разделить прямую на несколько равных частей и

2) разделить одну прямую линию на другую.

Для решения первой из этих задач недостаточно тех знаний, которые мы теперь имеем, хотя легко понять, что зта задача возможна; так, какую-нибудь прямую т (чер. 42) мы можем умножить напр. на 6, отчего получится прямая АВ; след, т и будет шестая часть АВ. А для решения второй задачи, т. е. чтобы узнать, во сколько раз одна линия больше или меньше другой, нужно измерить обе линии, т. е. узнать, сколько раз в той или другой линии укладывается какая-нибудь линейная мера, напр. вершок, дюйм, и полученныя числа разделить одно на другое. Положим напр., что линия АВ содерзкит 6 дюйм., длина же линии СD=8 дюйм.; тогда СD будет во столько раз больше АВ, во сколько 8 больше 6, т. е. СD = ⁸/₆ АВ =⁴/₃ АВ; иначе говоря—геометрическое отношение линии СD к линии АВ равно ⁴/₃

Каким образом делить прямую линию на несколько равных частей—будет объяснено впоследствии.

34. Задачи. 1)  Найти   сумму  нескольких   данных   прямых линий?

2)  Найти разность двух прямых?

3)  Данную прямую увеличить в 3, 5, 7 раз?

4)  Решить зад. 8 § 28, полагая, что прямая АВ= т + п? полагая, что АВ больше т + п?

5)  Начертить   три вертикальных   прямых  линии так, чтобы первая была вдвое больше второй, а вторая вдвое больше третьей?

6)  Начертить три таких горизонтальных линии, чтобы первая была втрое больше воторой, вторая впятеро меньше третьей?

7)  Выпрямить данную ломаную линию?

8)  На прямой АВ между точками А и В даны точки С, D, К; определить:   АС+СD+DК? сумму CD, DК и КВ? АВ—DК? разность   АВ и СD? АD+DК+КВ—АС? АС+СК+КВ—СВ? АК—DК? разность между  АВ и суммою   СD и DК? Суммою и разностью каких прямых можно заменить АВ? АК? СК?

9)  Прямую АС продолжить до точки В так, чтобы АВ=5АС? АС=¹/₃АВ? АС=¹/₅АВ?

10)  На прямой   АN от точки А  последовательно   отложены АС=СD=DК-=КL = LM=МВ$   определить   АС• 5 ?  3CD? ¹/₃ СL? ²/₅ СВ?  Найти, во сколько раз АВ больше АС? Во сколько раз АК меньше АВ? Какую часть от DВ составляет СК? Какую часть от АВ составляет СМ?

35. Измерение расстояния одной точки от другой.

Чтоб узнать расстояние одной точки от другой, должно провести между этими точками прямую линию; потом откладывать по ней аршин, сажень, метр, вершок, дюйм, сантиметр...., вообще какую-нибудь линейную меру. Для измерения расстояний на земле употребляется обыкновенно тесьма или цепь. Тесьма   бываег   длиною   в   5 и более сажен; на ней означены аршины и вершки или футы и дюймы; она окрашивается масляной краской, чтобы не изменялась от сырости.

Цепь (чер. 43) имеет обыкновенно длину 10 сажен; она состоит из звеньев, длиною каждое в 1 фут; через каждые семь звеньев, составляющих сажен, прикреплены медные дощечки с цифрой показывающей число сажен от начала цепи; на обоих концах цепи находятся кольца.

Измерение цепью производится следующим образом: линию, которую надо измерить, провешивают, т.е. обозначают несколько её точек вехами; цепь несут два человека; передний имеет при себе 10 маленьких колышков; находящийся сзади становится у того места, откуда надо начать измерение; передний идет с цепью по направлению линии, и когда вытянет цепь, то втыкает в конце её колышек; затем цепь снимается; идут дальше, и когда задний дойдет до колышка, то надевает на него цепь, потом берет колышек себе; затем идут опять дальше и т. д., пока не пройдут всю линию. По числу колышков, оказавшихся у заднего, легко узнать величину измеренной линии; так как каждый колышек снимается тогда, когда вытянута вся цепь, то, след., если по окончании измерения, у заднего окажется напр. 6 колышков, то длина линии= 60 саж.

Когда не требуется особой точности. то размеряют расстояние шагами; шаг взрослого человека средним числом=1 аршину. О величине какого-нибудь расстояния можно также судить по времени, которое нужно употребить для того, чтобы пройти это расстояние. С этой целью мы сначала должны заметить, сколько проходим обыкновенным шагом в какое-нибудь известное время; положим, что в 3 минуты мы прошли 126 сажен; а чтоб пройти измеряемое расстояние, употребили 26 мин.; тогда, если в 3 мин. пройдено 126 саж., то след. в 1 мин. 42 саж.. а в 26 м. в 26 раз больше, т. е. 42•26=1092 саж.=2 в. 92 с. Наконец, расстояние можно определить еще следующим образом: если мы стоим подле того места, где стреляют из пушки или из ружья, то мы видим огонь и слышим звук выстрела в одно и то же время; но когда мы отойдем на некоторое расстояние, то прежде увидим огонь, а потом уже услышим звук, и притом тем позже, чем дальше находимся мы от орудия, из которого стреляют. Найдено, что если стать от пушки на расстоянии 157 саж., то мы услышим выстрел через секунду после появления огня; если стать на расстоянии вдвое большем. т. е. на 314 саж., то звук будет слышен через две секунды: на тройном расстоянии—через три секунды и т. д. Поэтому, если нужно измерить какую-нибудь прямую линию значительной длины, то на одном конце её стреляют, а на другом замечают   по часам, через   сколько   секунд   после появления огня слышится выстрел; умножив 157 саж. на число секунд, узнаем, сколько сажен в измеряемой линий.

36.  Вопросы: 1) Как измерить расстояние между двумя точками? 2) Опишите мерительную цепь и её употребление? 3) Как определить расстояние посредством выстрела?

37.   Масштаб. Чтобы изобразить какое-нибудь расстояние на доске или на бумаге в меньшем   виде,   употребляют масштаб.

Для этого проводят прямую линию (чер. 44), откладывают  по  ней несколько   раз  какую - нибудь часть МN и иринимаюгь эту часть  напр.   за аршин; тогда диниа МС изобразит сажень, МЕ—две сажени, и т. д. Если напр., надо изобразить линию в 3 саж. 2 арш. или в   11   арш., то нужно начертить линию, равную   МD.   Наоборот — если АB представляет длину дома, начерченную по предыдущему масштабу, то, чтобы узнать,   сколько   аршин   в   этой длине, мы берем линию АВ циркулем и накладываем на масштаб, так чтобы точка А упала в точку М; видим, что точка В упадет в F; след. длина дома—10 арш. Какой масштаб чертить—это зависит от того, какой дливы линию мы доджны представить в уменьшенном виде. Если бы, напр., хотели изобразить   линию   в   версту,   то   наш масштаб (чер. 43) был бы слишком велик; потому  что линия в 500 раз большая  линии  МС,   не   уместится   на листе бумаги.

При черчении изображения дома принимают дюйм за саж.; при черчении изображения поля берут масштаб 100 и более саж. в дюйме; географическия карты чертятся по масштабу 100 и более верст в дюйме.

38. Задачи. 1) Принимая линию АВ (чер. 45) за 10 сажен начертить линии в 34, 43, 25, 27, 33, 3, 7, 5 сажен?

2) Измерить  прямые   линии  т, п, р, q (чер. 46) маcштабом, представленным на чер. 44-м?

3)  Измерить   длину  комнаты, стола, классной доски и начертить эти линии по масштабу чер. 44?

4)  На прямой взяты точки А, В и С; С отстоит от А на 4 вершк., а от В на 4 вершк.; определить расстояние АВ, если С находится между А и В? если С не находится между А и В?

5)  Сумма двух линий =18  сантиметров,   а  разность   их = 4 сантим.; определить величины линий?

6)  На прямой находятся точки А, В, С; расстояние АВ = 12 верш.; С отстоит от А на 4 верш.; определить длину СВ, если С находится между А и В? если С не находнтся между А и В?

7)  Прямая АВ=20 см;   на ней находятся  точки С и D между этими точками лежит середина прямой АВ: расстояние середины  от С = 3¹/₂  см,   а  от D  = 4¹/₂ см; определить расстояния С и D от А?

8)  Имеем линии АВ и CD; CD =1 аршину и укладывается в АВ три  раза с остатком; остаток  укладывается  в СD три раза   с   остатком;   наконец   третий остаток   содержится в первом   5 раз с  остатком; наконец третий остаток содержится во втором ровно 2 раза. Сколько дюйм. в АВ?

ОТВЕТЫ

5. 11; 7     7. 6 ¹/₂ ;  14 ¹/₂     8.  92 ⁴/₅