|
ГЛАВА III. О ЛИНИЯХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ И КОСВЕННЫХ. 80. Возьмем две взаимно перпендикулярных линии АВ и СD (чер. 111); отложим от точки D по линии АВ части DЕ= DF и DМ= DN и проведем косвенные СЕ, СF, СМ, СN.
Из этих четырех косвенных две, именно CЕ и СF, находятся на равных раcстояниях от перпендикуляра, потому что DЕ= DF точно также СМ и СN равно отстоят от перпендикуляра; но эти две последние линии отстоят дальше, чем две первые, потому что DМ больше DЕ. Измерив циркулем перпенд. и все косвенныя, найдем: 1) что перпендикуляр короче всякой косвенной; 2) что СF=СЕ и СM=СN т.е. косвенныe, находящиеся в равных расстояниях от перпендикуляра, равны между собою; 3) что СМ и СN болыпе СЕ и СF, т.е. косвенная, дальше отстоящая от перпендикуляра, больше той, которая ближе к нему. 81. Из предыдущаго следует, что самый короткий путь от точки А (чер. 112) до линии ВС есть перпендикуляр АD, опущенный из А на ВС; поэтому расстояние точки от линии и измеряется перпендикуляром; если напр. скажут, что точка А отстоит на 5 дюйм. от линии ВС, то это значит, что длина перпендик., опущенного из А на ВС, равна 5 дюйм.
82. Кроме того, видно также, что из какой-нибудь точки нельзя провести к данной прямой линии более двух, равных между собою, прямых линий.
Действительно, если из точки А (чер. 113) проведены к линии ВС две, равные между собою прямые АD и АЕ, то всякая третья линия, напр. АМ или АN будет или дальше от перпендикуляра, опущеннoго из А на ВС, или ближе к нему, чем АD и АЕ, и след. не может равняться каждой из этих последних линий. 83. Возьмем прямую линию АВ и на ней точку С(чер.114);
отложим от С по линии АВ две равные части СD и CE; тогда точка С будет сeредина прямой ЕD; воcставим из С перпендикуляр к ЕD; если какиe-нибудь точки этого перпендикуляра, напр. F, М..., соединить с точками Е и D, то диния FЕ=FD,МЕ=МD..., как косвенные, равно отстоящие от перпендикуляра; след. всякая точка перпендикуляра, восставленного из средины прямой линии, находится в равных расстояниях от концов этой линии. Таким образом, если б хотели найти несколько точек,. находящихся на равных расстояниях от двух данных-точек А и В, то нужно бы соединить точки А и В прямой ливией и из средины её восставить перпендикуляр; все точки его и будут иметь требуемое свойство; иначе говоря— перпендикуляр, восставленный из средины прямой линииг есть геометрическое место точек, равно отстоящих от концов этой линии. 84. На основании сейчас выведенного свойства можно проводить перпендикуляры без помощи наугольника, а посредством циркуля и линейки. Положим напр., что требуется восставить перпендикуляр из точки А (чер. 115) к линии ВС.
Для этого отложим от А какия-нибудь раввые части АС и АD тогда точка А будет сeрединой линии AС; найдем теперь еще одну точку, которая бы находилась в равных раcстояниях от D и С; для этого из точек D и C опишем равными радиусами две дуги; точка пересечениа этих дуг О будет, по предыдущему, лежать на перпендикуляре, восставленном из А; стало быть, соедивив О с А получим ОА _|_ ВС. 85. Если нужно из точки А (чер. 116) опустить перпендикуляр на линию ВС, то найдем на ВС такие две точки, которые бы равно отстояли от точки А;
для этого из А опишем дугу так, чтобы она пересекла ВС в двух точках; эти точки М и N и будут равно отстоять от точки А. Теперь из М и N опишем равными радиусами две дуги; остается соединить точку пересечения этих дуг О с точкой А и продолжить линию АD_|_ВС. 86. Покажем еще, как разделить пополам данную прямую АВ (чер. 117), иначе говоря— как найти середину этой прямой.
Для этого на линии АВ возьмем какую-нибудь точку С, так чтоб она была ближе к В, чем к А; потом из А и В радиусами, равными АС,опишем две дуги, которые пересекутся в точках D и Е; точки эти соединим прямой DE, которая пересечет АВ в точке M; эта точка и будет сeрединой АВ. Действительно, так как точки D и Е равно отстоят от концов прямой АВ, то они должны находиться на перпендикуляре, восставленном из середины АВ, потому линия DЕ _|_ АВ и проходит через середину АВ. Разделив пополам прямую АМ, получим 1/4 АВ; разделив пополам четверть АВ, найдем 8-ю часть, и т. д.; вообще, как видно, можно разделить данную прямую на 2•2•2... равных частей. 87. Вопросы. 1) Какие линии наз. перпендикулярными? 2) Сколько можно восставить и опустить перпенд. из точки на линию? 3) Какое свойство перпенд. относительно косвенных? 4) Чем измеряется расстояние от точки до линии? 5) Какое свойство косвенных, равно и неравно отстоящих от основания перпенд.? 6) Какое свойство имеют точки перпенд., восставленного из середины прямой линии? 7) На чем основана возможность проводить перпенд. посредством циркуля и линейки? 8) Как восставить перпенд. из точки на лннии? 9) Как опустить перпенд. из точки на линию? 10) Можно ли при проведении перпенд. из точки на линию описывать дуги совершенно произвольными радиусами? 11) Как раздедить пополам данную прямую линию? 88. Задачи. 1) Дана линия СD и точки А и В, лежащиe по одну сторону её; найти на СD точку, равноотстоящую от А и В? 2) Решить зад. 1, когда А и В лежат с разных сторон СD ? 3) В каком случае 1-я и 2-я зад. невозможны? 4) На двух деревьях сидят птицы; где нужно посыпать на земле корму, чтобы они слетели к нему в одно время? 5) Измерить расстояние точки С от прямой АВ 6) Из точки С провести к прямой линии АВ четыре равные между собой, прямые линии? 7) Найти точку, равноотстоящую от трех данных точек. А, В, С, не лежащих на одной прямой линии? 8) Можно ли решить предыдущую задачу в том случае, когда, точки А, В, С лежат на одной прямой, и если нет, то почему? ОТВЕТЫ 1. См. § 83 4. См. зад. 1 7. Пересечение перпендикуляров, восставленных из середины двух прямых, которые можно провести между данными точками. |
