ГЛАВА IV.

О ЛИНИЯХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ.

89. Мы уже говорили (§ 39), что параллельными линиями наз. такие (чер. 118), которые лежат на одной плоскости и не встречаются между собой, сколько бы их ни продолжали в ту или другую сторону. Параллельность изображается знаком || ; так (чер. 118), АВ || СВ.

Возьмем линию АВ (чер. 119) и восставим к ней в двух каких-нибудь точках перпендикуляры СD и ЕF.

Сколько бы мы ни продолжали эти перпендикуляры в ту или другую сторону, они не встретятся между собою. Действительно, если б мы предполагали, что они могут встретиться в какой-нибудь точке, то из этой точки были бы опущены на прямую АВ два перпендикуляра, но мы знаем (§ 55), что из точки на линию можно опустить только один перпендикуляр; поэтому невозможно предположить, чтобы FЕ встретилась с СD, и след. ЕF || СD. Итак, если две линии перпендикулярны к одной и той же третьей, то они параллельны между собой.

90. Если мы линию ЕF наклоним вправо или влево так, чтобы она уже не была   перпендикулярна к AB (чер. 120  и 121), то эта линия   при продолжении непременно   пересечет СD снизу  или сверху  линии АВ.  

Итак, если имеем две линии, и одна из них перпендикулярна к какой-нибудь третьей линии, а другие нет, то эти линии по достаточном продолжении встретятся.

91.  Но есди мы вместе с линией ЕF наклоним и линию CD, так чтобы (чер. 122) углы а и  b были  равны   мeжду cобою, то линии все-таки останутся параллельными.

92.  Возьмем две параллельные линии АВ и СD (чер. 123) и пересечем  их какой-нибудь  третьей  линией   ЕF; тогда получим  восемь   углов  а, b , с,  f,  g,  m,  n,  k.   Углы   эти имеют особые названия.

Углы а и g (а также b и т,   f и п,   с и k ) наз. соответственными углами или углами наклонения;
углы с и g (а также f  и т)   наз. внутренними, накрест лежащими, или внутренними перекрестными ;
а и k (а также b и п) наз. внешними перекрестными ;
f и g ,  с и т наз. внутренними односторонними;
а и п,  b и k — внешними односторонними.

Рассмотрим свойства этих углов.

Параллельные линии одинаково наклонены к третьей линии, пересекающей их;след.,если АВ || СD (чер. 123), то уг. а = уг. g; т. е. соответственные углы равны между собою.
Угол а = с, как вертикальные; но по предыдущему а =  g; след. и  с =  g, т.е. внутренние перекрестные углы равны.
Уг.  g = уг. k,  след.   а = k;   т.е.   внешние перекрестные равны.
Углы а и f  смежные, след. а + f =2 прямымь; но а =  g, след. и g + f = 2 пр., т.е. сумма внутренних односторонних уг. = 2 прям.
Сумма уг. k и п = 2 прям.; но k = а, след. и а + п = 2 прям.; т.е. сумма внешних односторонних углов = 2 прям.

93.  Наоборот — если имеем две линии АВ и СD (чер. 124) и не знаем, параллельны они или нет, то  пересекаем их третьей линией ЕF; если окажется, что уг. а = уг. b, или  с = b,   или   а =  g,   или   сумма   односторонних угл.=2 прям., то линии параллельны; если же напр. а не = g или  b + т не = 2 прям., то линии не параллельны.

94.  Возьмем  две  параллельные линии АВ и СD   (чер.   125)   и  из каких-нибудь   точек   Е,   К,   М... линии АВ проведем ЕF, КZ, MN, перпендикулярные к AВ; тогда линии ЕF, КZ, MN будут _|_ также   и  к  СD; иначе   СD не была бы || АВ.   

Смерив  циркулем перпендикуляры ЕF, КZ, MN, увидим, что они все равны между собою. Итак, параллельные линии на всем своем  протяжении находятся в одинаковом расстоянии одна от другой.

95.   Черчение  параллельных линий.  Положим,  что  из точки А (чер. 126)   нужно провести линию, параллельную линии ВС;

для этого из А опустим на ВС перпенд. АD; потом из А восставим АЕ_|_АD; АЕ будет || ВС.

Можно также через А (чер. 127)   провести к ВС произвольную линию ЕD и при точкеА линии ЕD построить угол а = b.

Не трудно убедиться, что из данной точки можно провести только одну линию, параллельную данной; действитедьно, если б из точки А (чер. 126) можно было провести кроме АЕ еще линию || ВС, то эта линия была бы _|_ АD и след. из точки В можно было бы восставить два перпенд. к АВ.

В практике параллельные линии проводятся обыкновенно посредством двух линеек (чер. 128), которые соединены между собой пластинками, а и b, так что линейки можно  сближать и отдалять друг от друга, при чем они остаются параллельными между собою.

Параллельные линии чертятся также посредством линейки и наугольника следующими двумя способами.

1) Если нужно через точки А, В.... (чер. 129) провести линии || СD, то прикладывают наугольник ребром его тп к СD; к другому ребру его пр прикладывают линейку; потом, крепко нажимая одной рукой линейку так, чтобы она не скользила по бумаге (или доске), подвигают по линейке наугольник до тех пор, пока ребро его тп не встретит точку А; тогда проводят по тп прямую линию; далее подвигают наугольник до В, и т. д. Проведенные линии будут || СD, потому что все они _|_ к ребру линейки.

2) Кладут наугольник так, чтобы его ребро тр (чер. 130) совпадало с прямой АВ, параллельно которой надо провести линии через точки С, D... к ребру пр наугольника прикла-дывают линейку, по-двигают по ней наугольник так,чтобы его ребро mр постоянно прилегало к рeбру линейки до тех пор, пока ребро тр не встретит точки С; тогда по этому ребру проводят прямую линию; затем подвигают наугольник до D, и т. д. Полученные прямые будут || AB так как они образуют с ребром линейки равные соответегвенные углы.

96. Параллельные линии на поверхности земли проводятся помощью эккера. Положим, напр.,что через точку А (чер. 131) надо провестй линию || СD; тогда опускаем из А перпенд. АЕ на CD,. как объяснено в § 58-м;, потом из А восставляем. перпенд. к АЕ.

Можно поступать также следующим образом. Опускаем из А (чер. 132)  перпенд.   на   СD и измеряем   его — пусть   напр. АE = 10 саж.; потом воcставляем   из какой-нибудь  точки F линин СD перпендикуляр к этой последней и откладываем на нем также 10 саж.; пусть FМ= 10 саж.; тогда прямая AМ будет || СD, потому что точки линии АМ находятся в одинаковом расстоянии от СD.

97. Углы c параллельными сторонами. Возьмем два уг. а и b (чер. 133), которых стороны || между собою.

Продолжив одну сторону уг. b, получим уг. с; с = b и с = а, след. b = а.

Мы взяли (чер. 133) два таких уг. а и b с параллельными сторонами, что эти уг. были обращены вершинами, в одну сторону. Возьмем теперь такие уг. а и b (чер. 134) , которых стороны параллельны, и которые обращены вершинами в противоположные стороны. Продолжив одну из сторон уг. b, найдем, что а = с как соответственные, а b = с как перекрест.;  след. и а = b.

Наконец, углы с параллельными сторонами (чер. 135) могут быть расположены так, что они обращены в разные сторсняы, но не в противоположные. Продолжив сто-рону угла b, получим уг. с; но с + b = 2 прям., как внутренние односторонние, а с = а, следоват. и а + b = 2 прям.

Итак, углы с параллелными сторонами равны между собой в том случае, когда они обращены в одну сторону или в совершенно противоположные стороны; если же они обращены в разные, а не противоположные стороны, то они не равны, а составляют в сумме 2 прям.

Можно сказать также, что углы с параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые; если же один уг. острый, а друюй тупой, то сумма их = 2 прям.

98. Углы с перпендикулярными сторонами. Возьмем уг. а (чер. 136) и из вершииы его проведем к сторонам его перпендикуляры; тогда подучим уг. b, которого стороны   _|_ к сторонам угла а. Не трудно доказать, что уг. b и а  равны между собою.

Действительно, уг. АСВ = уг. ЕСD как прямые; вычтя из обоих этих углов общую часть, т.е. уг. ЕСВ, получим равные остатки b и а.

Если возьмем два таких угла а и b с перпенд. сторонами (чер. 137), что один из них острый, а другой тупой, то сумма их = 2 прям. Действительно, около общей вершины углов а и b помещаются 4 угла, и так как сумма их всех = 4 прям., а два из них прямые, то сумма остальных углов, т. е. сумма углов а и b, равна 2 прям.

99. Вопросы. 1) Какие линии наз. параллельными? 2) Доказать, что две линии, перпенд. к одной и той же третьей, параллельны между  собою? 3) Какие углы oбразуются  при пересечении  двух параллел. линий третьей линией? 4) Какие свойства этих углов? 5) Как узнать, параллельны ли две данные линии, или нет? 6) Как провести линию || данной? 7) Как проводятся параллел. линия по поверхности земли?

8) Указать на чер. 138—142 углы соответственные, перекрестные, и т. д.? 9) Какое свойство имеют углы с паралл. сторонами? с перпенд. стор.?

100. Задачи. 1) Уг. а (чер. 143)=40°; определить прочие углы?

2) Дана прямая АВ и точка С вне её; провести из С такую прямую, чтобы она пересекла АВ под углом, равным данному уг. т? 1

3) Провести три параллельные линии на расстоянии ¹/₂ дюйма одна от другой?

4)   Найти   геометрическое   место точек, отстоящих от прямой АВ на расстояние, равное   данной  прямой линии а?

5)  Точка С движется так, что всегда остается на одном расстоянии от прямой АВ; какую линию описывает точка С?

6) Две паралл. линии пересечены линией АВ так, что один из углов — 60°; из точки пересечения АВ с одной из паралл. опущен перпенд. на другую паралл.; какой уг. образует этот перпенд. с АВ?

7) Уг. а =60°; внутри его взята точка и из неё опущены перпенд. на стороны угла; какой уг. образуют между собою эти перпенд.?

8)  Уг. а (чер. 143) на 60° меньше f, найти уг. а, b...?

9)  Уг. а = ¹/₃ n (чер. 143); найти уг. а, b...?

10) g — k = 70° (чер. 143); найти а, b...?

11)  Определить внутр. односторонние углы, если один из них  на 22°30' больше другого?

12)  Определить   внешние   односторон.   углы,  если  один  из них = ⁷/₈ другого?

13)  Один из внутренних  угл.   двух  параллельных  линий  разделен прямой линией пополам, и эта прямая встречает другую параллель под острым углом, который на ³/₈d меньше разделеннoго угла; определить этот последний?

14)  Один из внутр. углов параллельных линий, равный 0,7d, .разделен пополам прямой линией; под каким острым уг. эта прямая встретит другую параллель?

15)  Доказать, что линии, делящиe пополам два накрест лежащие угла, параллельны между собою?

16)  Доказать, что  линии, делящиe пополам два соответственных угла, параллельны между собою?

17)  Определить угол, образуемый прямыми, делящими пополам внутренн. односторон. углы параллельных линий?

18)  Две параллели АВ и CD составляют с секущей ЕF внутренн. одностор. углы а и b. Из вершины уг. а проведена внутри его прямая  КL, составляющая  с АВ уг. = ¹/₃ а; из вершины уг. b проведена внутри его прямая GН, составляющая  с CD уг. =¹/₃ b Под каким уг. пересекаются КL и GН ?

19)  Решить зад. 18, полагая, что КL и GH образуют с секущей ЕF углы, соответственнo равные ¹/₃ a и ¹/₃ b?

20)  Решить зад. 18, полагая, что углы, составляемые прямыми КL и GH с параллелями, равны ¹/₄ a и ¹/₄ b? ¹/₆ a и ¹/₆ b? ¹/₈ a и ¹/₈ b?

21)  Решить зад. 18, полагая, что углы, составляeмые прямыми КL и GH с секущей ЕF, равны ¹/₄ a и ¹/₄ b? ¹/₆ a и ¹/₆ b? ¹/₈ a и ¹/₈ b?

22)  Положив в зад. 18-й уг. а = ³/₄ b, определить, какой угол. составляют КL и GH, если KL с параллелью АB составляет уг. = ¹/₃ a,  а GH с секущей EF составляет уг. = ¹/₃ b?

23)  Уг. а = ³/₄ d   внутри его взята точка и из неё  опущены перпендикуляры   на   стороны  угла;   какой  угол  образуют эти перпендикуляры?

24)  Внутри угла,   равного ⁷/₉ d, взята точка и из неё проведены две прямые линии — одна параллельно одной стороне угла, другая  перпендикулярно к другой стороне.  Какой угол   образуют эти линии?

ОТВЕТЫ