ГЛАВА V.

О ТРЕУГОЛЬНИКАХ.

101. Часть плоcкости, ограниченная со всех  сторон какими-нибудь   линиями,   наз.  фигурою;  так,   на чер.   144-м представлены три фигуры; две из   них суть фигуры прямолинейные, потому что образованы прямыми линиями; третья— криволинейная.

На чер. 145-м изображена фигура, которая ограничена прямой линией АВ и кривой АВС; таная фигура наз. смешанной.

Прямые линии, огравичивающие фигуруг наз. её сторонами.

Проведя   две прямыя   линии, встречающияся между   собою (чер.  146), мы получим часть плоскости,   которая не ограничена с одной стороны. Чтобы ограничить ее, нужно провести еще по крайней мере   одну   прямую   линию;

таким образом простейшая прямолинейная фигура должна иметь 3 стороны (чер.147);  такая фигура наз. треугольником и, как видно,   имеет три стороны—АВ, ВС, АС и три угла А, В, С.

Слово треуюлник изображают знаком /\ , который ставят перед буквами, означающими вершины треугольника, напр. /\  АВС.

102. Виды треугольников. Стороны в треугольнике могут быть:

1)  все равны  между собою; такой  треуг. (чер. 148) наз. равносторонним;

2)  две стороны равны  между собою, но третья  не равна им; тогда   треуг. наз. равнобедренным; таковы напр. тр-ки АВС (чер. 149 и 150), в которых АВ = ВС;

3)   все три стороны тр-ка могут иметь различную длину; такой треуг. (чер. 151) наз. разносторонними.

Сумма всех сторон тр-ка наз. его периметром; если напр. в тр-ке одна сторона = 6 дюйм., другая = 8 дюйм., третья = 10 дюйм., то периметр его = 24 дюйм.

В треуг. могут быть все три угла острые, как это и видно ва чер. 148 и 149; но прямых или тупых углов может быть только один.

В самом деле, если мы возьмем линию АВ (чер. 152) и построим при концах её прямые углы, то линия АС и BD не встретятся между собой, сколько бы их ни продолжали в ту или другую сторону—линии эти будут параллельны между собою, след, из  линий АС, АВ и BD тр-к не составится.

Если мы при концах  линии  АВ  (чер.   153)  построим тупые углы, то линии АС и BD не могут встретиться сверху линии АВ; они встретятся снизу этой линии и образуют треуг., в котором углы  при точках А и В будут острые. Таким образом, невозможно начертить такой треуг., в котором было бы два прямых или два тупых угла. Легко видеть, что невозможно построить и такой треуг., в котором был бы один прямой и один тупой угол.

Треуг., у которого все углы острые (чер. 154), наз. остроугольным;  если   один  угол  прямой (чер. 155),   то треуг. наз. прямоуголным; наконец треуг. с одним тупым углом (чер. 156,) наз. тупоугольным. Остроугольный и тупоугольный тр-ки наз. вообще косоугольными.

Стороны прямоуг. тр-ка имеют особые названия: сторона АВ (чер. 155), лежащая против прямого угла, наз. гипотенузою; а остальныя две стороны АС и СВ наз. катетами.

103. Одну из стороы треуг. АВС (чер. 157), напр. АВ, называют основанием; вершину же противоположного угла С наз. вершиною тр-ка; перпендикуляр СЕ, опущенный из вершины на основание, наз. высотой треуг.

Если бы в тр-ке АВС (чер. 158) принять за основание лннию ВС, то высотой был бы периендикуляр   АВ, опущенный из А на ВС

Приняв в прямоуг. тр-ке АВС (чер. 159) за основание катет ВС, увидим, что высотой будет другой катет. Если в тупоуг. тр-ке АВС (чер, 160) примем за основание одну из сторон тупого угла, напр. ВС, то высота АD упадет вне тр-ка.

В равнобедрен. тр-ке за основание принимается сторона, не равная двум другим; так, а тр-ке АВС (чер. 161) основание будет АС, а высота BD.

104.   Во всяком тр-ке каждая  сторона  меньше суммы двух других  сторон; так (чер. 162) АВ меньше АС+ СВ, потому что АВ есть прямая, а АС+СВ составляют ломаную линию;

прямая же линия есть самое короткое расстояние между двумя точками. Углы тр-ка  не имеют   предыдущего свойства, иначе говоря—можно начертить такой треуг., в котором один уг. был бы больше суммы других двух углов или был бы равен ей. Так, измерив транспортиром острые углы какого-нибудь  прямоуг. тр-ка, увидим, что сумма их соетавляет   прямой уг.;   в тупоугольном же тр-ке тупой уг. больше суммы острых углов.

105. Сумма углов треугольникаа. Возьмем какой-нибудь тр-к АВС (чер. 163) и представим, что сторона его ВС отодвигается вправо;

тогда она будет становиться длиннее и будет пересекать продолжение линии АС в точках D, Е..; при этом уг. А будет оставаться без перемены, уг. при В будет увеличиваться, а уг. С уменьшаться. Измеряя углы при точке В и при точках D, Е... мы увидим,  что , на сколько угол при В увеличивается, именно на столько же уменшается другой угол, так что во всех тр-ках АВС, АВD, ABЕ... сумма углов одинакова. Это приводит  нас к заключению, что хотя углы в треугольниках могут иметь весьма различную величину, но сумма углов всякого тр-ка всегда одна. и та же, или эта сумма есть величина постоянная. Чтоб узнать, чему именно равна сумма углов всякого тр-ка, надо бы взять какой-нибудь треуг., смерить углы транспортиром и сложить; но так как измерение транспортиром не точно, то мы поступим следующим образом:   возьмем треуг.   ABС (чер. 164) и из В проведем линию || АС;   

тогда при точке В будут   три угла т, п, р; мы уже знаем, что т + п + р = 2 прям.; но т = А, р = С,  как перекрестные; сдед. и А + п + С= 2 прям.   Итак, сумма  углов  всякаго тр-ка =2 прямым или 180°.

106. Из предыдущаго следует, что если в тр-ке известны два угла, то можно найти и третий, вычтя сумму двух первых из 180°; если напр. один уг. = 80°, другой = 40°, то 3-й = 60°.

В прямоуг. тр-ке один уг. прямой; сдед. сумма остадьных двух уг. должна быть равна прямому углу, и если напр. один из угдов = 36°, то другой = 54°.

Сумма острых углов тупоуг. тр-ка меньше прямого угла. Если два  угла  одного   тр-ка равны двум  углам  другого тр-ка, то и третьи углы обоих треугольников должны быть равны  между   собою.   Так, если в одном   тр-ке имеем углы в 40° и 60° и в другом  такие же углы,   то третий уг. в том и другом тр-ке будет 80°. Продолжив одну из   сторон  тр-ка АВС (чер.   165),  напр. АС,   получим уг. т,  который   наз.  внешним   углом тр-ка;

внешний уг. есть смежный с уг.  с тр-ка;  след. с + т = 2 прям.;  ту же сумму   получим,   если  к   с  придадим  сумму   уг. а и b; след. уг. т   должен   равняться сумме   уг.  а   и b;  итак, внешний  угол   треугольника = сумме  двух   внутренних,  с ним несмежных.

107.  Вопросы. 1) Что наз. фигурой? 2) Сколько нужно прямых линий, чтобы получить   ограниченную часть  плоскости? 3) Какая простейшая   из прямолинейных фкгиур? 4) Что   наз. треугольником? 5) Сколько частей в тр-ке? 6) Как разделяются тр-ки по сторонам?  по углам?  7)   Сколько   может   быть   в треуг. острых   углов?  прямых?  тупых?   8) Какие   названия имеют стороны прямоуг. тр-ка? 9) Что наз. основанием тр-ка? высотою? 10) Какие углы в тр-ке АВС лежат против стороны АВ? противолежат стороне ВC? прилежат стороне АB? лежат на стороне  АC? Между  какими  сторонами  лежит   уг. АВС?  Какая сторона противолежит углу С? углу В? 11)Какое свойство имеет каждая   сторона  тр-ка   относительно суммы   двух других? а углы тр-ка имеют ли такое же свойство? 12) Чему равна сумма углов тр-ка? 13)  Что   наз.   внешним углом  тр-ка?   14) Чему равен  внешн.   уг. тр-ка? 15) Провести в тр-ке АВС высоту, . принимая за основ. АВ? ВС? АС?

108.  Задачи. 1) Может ли тр-к иметь стороны   в 10, 15 и 20 вершк.? в 1, 2 и 3 дюйма? в 8 вершк., 3 вершк. и 2 арш.? в 7, 10 и 19 дюйм.? в 1 ф., 1  дюйм., 1 лин.?

2)  Две стороны тр-ка равны 5 и 8 дюйм.; между  какими пределами заключается величина третьей стороны?

3)  В   равнобедренном  тр-ке каждая из   равных   сторон равна 6 дюйм.; больше чего не может быть его основание?

4)  Сумма сторон тр-ка =384 дюйм.; одна сторона =128 дюйм., а из двух других одна=³/₅ другой; определить стороны тр-ка?

5)  Периметр тр-ка=12 верш.; одна из сторон составляет ³/₄ другой, а другая =⁴/₅ третьей; определить стороны?

6)  В тр-ке АВС сторона АВ = ВС; периметр тр-ка больше АВ на 16 дюйм.; АС=³/₅ВС; определить стороны тр-ка?

7)  В   каких   целых числах может  выразиться   величина одной стороны тр-ка, если другие стороны его суть 7 и 5 дюйм.? 10 и 15 вершк.? 31 и 52 арш.?

8)  В равнобедр. тр-ке одна из сторон =9, а другая =4 дюйм.; определить третью?

9)  Решить предыдущую зад., полагая, что одна   сторона = 17, а другая 10 верш.?

10)   Одна сторона тр-ка=1 футу, другая=1 дюйм.; чему равна третья сторона, если она выражается целым числом дюймов?

11)  Решить предыд. зад. для чисел 20 и 1? 41 и 1?

12)  Периметр тр-ка АВС= 1,185 арш.; АВ = ¹/₂ арш.;   разность двух прочих сторон = 4 верш.; определить зти стороны?

13)  Определить стороны тр-ка АВС, если АВ = ВС= 1¹/₂АС, периметр его = 28,24 дюйм.?

14)  Может ли быть такой тр-к, которого  каждый уг. = 80? 60°? 50°? которого один уг. = 50°, другой 70°? третий 80°?

15)  Может ли быть   прямоуг. тр-к, у которого   острые углы 42° и 6°? тупоуг.  тр-к,   у которого   один   уг. = 20°,  а другой вчетверо больше?

16)  Может ли тр-к   иметь углы в 37°, 21° и 85°?   75°, 80° и 25°? 80°, 50° и 90°? ³/₄ d, ²/₃ d  и ¹/₃ d ?

17)  Определить третий уг. тр-ка, если  один из углов = ²/₃ d , а другой = ³/₅ d, если  один уг. = 27° 8' 35", а другой = 87° 42' 43"? один = 0,37d?, а другой = 0,73d?

18)  Один уг. тр-ка  =30°, другой вчетверо больше; определить третий?

19) Определить один из острых уг. прямоугольного   тр-ка,. если другой уг.= 24°15' ? ²/₅ d ? 0,3 d ?

20)  Один уг. тр-ка меньше другого на 12° 12', а другой больше третьего на 5° 43'; определить углы?

21) Какого вида будет тр-к, если один из углов его = смежному с ним внешнему? больше его? меньше?

22)  Чему равен каждый уг.равноугольного тр-ка?

23)  В тр-ке АВС уг. А = ¹/₂ В, а В = 2С: определить углы?

24)  Какого вида тр-к АВС, если уг. А= В+С? если А>В+ С?  

25) В тр-ке угол А=20°, уг. В =уг.С; определить В и С.

26)  В прямоуг. тр-ке острые углы равны; определить их?

27)  В тр-ке АВС уг. А=90°; уг. В=3С; определить В и С?

28)  В   тр-ке  АВС уг. А =36°15'; В = 40°40';   определить, внешний угол, образуемый продолжением стороны АС за точку С ?

29)  Доказать, что сумма углов тр-ка ВАС равна двум прям.,. продолжив сторону АС и проведя из С прямую || АВ ?

30)  Внешний уг. тр-ка = 136°; а один из   внутренних,   несмежных с ним, равен 20°; определить внутренние уг. тр-ка?

31) Внутренний уг. тр-ка= 38°27'; а внешний, несмежный с ним, равен  112° 36'; определить остальные внутр. и внешние углы?

32) Определить углы прямоуг. тр-ка, если один из внешних углов его к 1,35 d? 143° 27' 30"?

33)  Под каким уг. пересекаются прямые линии, делящие пополам острые уг. прямоуг. тр-ка? внешние тупые углы его?

34)  Какого вида тр-к, если один из внешних уг. его =90°?

35)  Чему  равен каждый   из   внешних углов   равноугольного тр-ка?

36)  Чему равна сумма всех внешних углов  всякого тр-ка?

37)  Вывести доказанное в § 106-м свойство   внешнего угла тр-ка из зад. 29-й?

38)  В угле А тр-ка   АВС угол  в 3° содержится   столько раз,   сволько в  уг. В  угол в 5°, а в уг.   С угол  в 7°. Найти углы?

39)  В одном из острых углов прямоуг. тр-ка содержится уг. в 2° столько раз, сколько в другом содержится уг. в 3°. Определить величины углов?

40)  Определить угол, образуемый прямыми линиями, делящими пополам   внутренние   односторонние углы   двух   параллельных линий?

41)  Определить угол, образуемый  перпендикулярами, опущенными из   точки,   взятой внутри  угла в 40°, на стороны этого угла?

42)  В тр-ке АВС угол А прямой; чему равна сумма внешних углов, смежных с углами В и С?

43)  В тр-ке АВС уг. А = уг. В; из вершины С тр-ка проведена прямая СD так, что она угол С разделила  пополам , какой угол образует она со стороной АВ?

44)  В тр-ке АВС сумма уг. А и В=84°;   В=⁷/₁₂А; определить углы?

45)  В тр-ке АВС уг. В =⁵/₃ А; уг. С=⁷/₅В; определить углы?

46)  В тр-ке АВС внешний уг. А =136°; внешн. угол В =1¹/₂ прям.; определить внутренние углы?

47)  В   тр-ке АВС  уг. А = 37°28'; разность   углов  В и С равна 16°37' ; определить углы?

48)  В тр-ке один уг. на 54° больше другого, а другой на 37° больше третьего; определить углы тр-ка?

49)  В прямоуг. тр-ке один из острых углов больше другого на 22°; определить углы тр-ка?

50)  Определить   углы прямоуг.   тр-ка, если  один   острый уг.. больше другого на 10°? 28-ю град.? в 3 раза? один =³/₈ другого?

51)  В тр-ке АВС уг. А = 54°; внешний уг.   В = 1¹/₂  прям.; определить уг. С?

52)  Один из внешних углов тр-ка = 134° 48'; а разность. внутренних,  с ним   несмежных,  равна  28° 36';   определить. внутренние и внешние углы тр-ка?

53)  В тр-ке АВС уг. А = 36°; какой уг. образуют  прямые линии. делящие пополам углы В и С?

54)  Две   прямые  линии, делящие пополам   углы В и С тр-ка. АВС, пересекаются под углом 114°; определить уг. А?

55)  Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, делит этот угол на части, из которых одна = ³/₅ другой; определить острые углы тр-ка?

56)   Один из  внешних   углов тр-ка  в 1¹/₂, а  другой в 1,25 раз более третьего; определить внутр. углы?

57)  Сумма  двух   внешних углов   тр-ка = 210°;   определить внутренний, несмежный с ними, угол?

58)  Определить уг. А тр-ка АВС, зная, что сумма внешних углов, смежных с В и С, больше В + С втрое? вчетверо?

59)  Углы тр-ка относятся между собою как 2:3:4; из вершины большого угла опущен на противолежащую   сторону перпендикуляр и проведена прямая линия, делящая этот уг. пополам; какой уг. образует перпендикуляр с этой линией?

60)  Внутри тр-ка взята точка и из неё опущены перпендикуляры на стороны   тр-ка;   перпендикуляры эти   образуют   между собой 3 угла, из которых один= 135°, а другой = 72°; опрeделить углы тр-ка?

61) Углы при основании тр-ка равны 56° 16' и 49° 30'; опре-делить угол, который образует высота с линией, делящей пополам уг. при вершине?

62) Перпендикуляр, опущенный из вершины острого угла тр-ка на противолежащую сторону, образует с двумя прочими сторонами углы в 56° 13' и 23° 17'; определить углы тр-ка, полагая, что он остроугольный?

63)  Рeшить предыд. задачу, полагая, что тр-к  тупоугольный?

64) В тр-кe АВС проведены всe три высоты; уг. А=86° 19' 40"; а часть его, отсeкаемая высотою и прилежащая к сторонe АВ, равна 29° 31' 46";   опредeлить  углы  В, С и части  их,  отсeкаемые высотами?

65)  В тр-кe АВС уг. А раздeлен  пополам  прямою АD и из вершины его проведена высота АЕ; уг. DАЕ= 18° 17' 16"; уг. BAC=46° 48' 50"; опредeлить углы В и C тр-ка?

66)  Могут ли  быть   такие  тр-ки  АВС и А^В^С^,   чтобы в них А + Л,=180° и В + В{ = 180°?

67)  Могут ли быть такие тр-ки АВС и А₁В₁C₁,  чтобы   углы А, В,С  одного служили  дополнением до двух прямых углам А₁В₁С₁ другого?

68)  Доказать, что каждая сторона тр-ка меньше половины его периметра?

69)  Доказать,  что  перпендикуляр,   опущенный   из   вершины прямого  угла на гипотенузу, дeлит тр-к на два тр-ка,   равноугольных с данным и между собою?

70)  Доказать. что если ко всeм сторонам тр-ка провести параллели, то получим тр-к, равноугольный с данным?

71)  Доказать,   что прямые линии, перпендикулярные к сторонам тр-ка,   образуют   между   собой   тр-к,   равноугольный   с данным?

ОТВЕТЫ