ГЛАВА VI.

О МНОГУГОЛЬНИКАХ.

129. Виды четыреугольников. Простейший из многоугольников есть четыреугольник. Четыреугольники бывают четырех видов: четырехут. (чер. 190), в котором нет параллельных сторон, не имеет особого названия; четырехуг. (чер. 191), в котором две стороны параллельны, наз. трапецией; четырехуг., в котором каждые две противоположные стороны параллельны (чер. 192), наз. параллелограммом; если в параллелограмме все стороны равны (чер. 193), то он наз. ромбом.    

Параллелограмм,    в    котором  все  углы прямые (чер. 194), наз. прямоугольником; прямоуг., в котором все стороны равны между собою, наз. квадратом (чер. 195); иначе говоря, квадрат есть ромб с прямыми углами. Квадрат есть правильный 4-к, потому что в нем все стороны и углы равны между собою.

Высотою трапеции (чер. 196) наз. линия АВ, проведенная перпендикулярно к параллельным сторонам трапеции. В параллелогр. (чер. 197) одна из сторон, напр. АВ, принимается за основание, и тогда высотой будет перпендикуляр СD, восставленный из какой-нибудь точки основания, напр. из С, до встречи с противоположной стороной.

В прямоугольнике одна из сторон принимается за основание; а сторона, перпендикулярная к ней, будет высотою.

130.   Свойства параллелограммов. Проведем в параллелогр. АВDС (чер. 198) диагональ СВ; тогда треуг. АВС = СВD, потому что сторона СВ  общая, уг. т = т и п = п, как перекрестные, след.  СD = АВ и АС = DВ.

Итак, в параллелограмме противолежащие стороны равны между собою, противоположные углы также равны между собою (уг. С= уг. В, уг. А = уг.D), как углы с параллельными сторонами, обращенные отверстиями в противоположные стороны; каждые два, рядом находящиеся, угла составляют в сумме два прямых (А + С = 2 пр., С + D = 2 пр., и т. д.).

131.   Если в параллелограмме  провести обе диаготли, то они разделят друг друга пополам. Действительно (чер. 199), треуг. АВО = треуг. СDО, потому что АВ = СD, уг. т = уг. п, уг. р = q как   перекрестные;   след.   и   DО = АО, CO=BO.

132. Если проведем диагтали в ромбе, то они не только разделят друг друга пополам, но будут кроме того перпендикулярны между собою. Действительно, рассмотрим тр-ки (чер. 200), АОС и DОС; у них сторона СО общая, АС= СD, как стороны ромба, АО=DО, потому что ромб есть параллелогр., сдед. диагонали в нем делят друг друга пополам. Итак, треуг. АОC= DOC, след. и уг. т = п; но эти уг. смежн., след. они прямые. Итак АD_|_ ВC.

133.  Диагонали прямоугольника равны между собою.    Рассмотрим    тр-ки   АВС   и    АBD (чер.   201);  

 в   них    сторона    АВ   общая, АC=DВ, уг.  САВ=уг. DBA;  след.  треуг. ABС=треуг. АВD, а потому и линия ВС =АD

134.   Диагонали  квадрата  имеют  все   предыдущие   свойства:  квадрат   есть параллелограмм,   след. диагонали его делят друг друга пополам;   он   есть и ромб,   поэтому диагонали его взаимно перпендикулярны, наконец, так как он есть и прямоугодьник, то диагонали его   равны между собою.

135.  Решить две задачи.

1)  Данную прямую АВ (чер. 202) разделить на несколько равных частей, напр. на 3?

Для этого из одного конца АВ, напр. из А, проводим произвольную прямую АС и откладываем по ней 3 раза какую-нибудь часть, напр. АD, так что АD=DЕ= ЕF; F соединяем   с   В,  а  из Е и  D проводим   ЕL  и DК || ВF тогда АВ разделится на 3 равныя части. Для доказательства проведем DM и ЕN || АВ; треуг. АDК=DEM=ЕFN (АD=DЕ=ЕF  и  углы, лежащие   на  этих  сторонах, равны); след.  АК=DМ=ЕN  но  DМ=KL,  ЕN = LВ,  след.  АК=KL=LB.

2)  Измерить расстояние точки   А от В (чер. 203), если между этими точками находится пруд, озеро и т. под.?

Для этого надо из C и D провести посредством эккера перпендикуляры СЕ и DМ к линии AВ; из Е провести ЕМ_|_СЕ; тогда АС+ЕМ+DB=АВ.

136. Вопросы. 1) Скольких видов могут быть четырехугольники?

2)  Что наз.   трапецией, параллелогр.,   ромбом, прямоуг.,  квадратом?

3)  Какие свойства имеют стороны, углы и диагонали параллeлогр.? ромба? прямоуг.? квадр.?

137.  Задачи. 1) Сколько нужно аршин лент для обшивки ковра, имеющего вид прямоугольника, которого одна сторона 8¹/₂ фут., а другая 5¹/₂ фут.?

2)  Один из угл. параллелогр. прямой; определить остальные углы?

3)  Можно ли начертить 4-к, в котором  все углы были бы острые? прямые?  тупые?  2   прям. и 2 остр.? 3 прям. и 1 тупой? 3 туп. и 1 остр.? 3 туп. и 1 прям.? 3 остр. и 1 туп.? 2 туп. и 2 пр.?

4)  Сад, имеющий вид прямоугольника, в 120 саж. длины и 66 саж. ширины, надо обнести забором из вертикально поставленных досок, шириною по ³/₄ фута; сколько пойдет досок?

5)  Периметр   прямоугольника = 46   дюйм., основание   больше высоты на 10 дюйм.; определить стороны?

6)  Периметр  параллелограмма=312 дюйм., а разность между двумя сторонами= 25 дюйм.; определить стороны?

7)  Определить   сторону  квадрата, периметр   которого = периметру прямоугольника, имеющего основание 32 ф.. а высоту 28 ф.?

8)  В параллелограмме  все   углы равны между собою; какого он вида?

9)  Определить углы параллелограмма, если один из них=70°?  ⁵/₆ d? 63°20'? 75°15'42"? если разность двух угл.=37°25'?

10)  В   4-ке  АВCD  уг.   А= ³/₄ d,   B=75°,   С=70°;   определить уг. D?

11)  Один   уг.   трапеции = 131°47'49",   а   другой = 128°9'11"; определить остальные углы?

12)  В 4-ке   АВСD  уг. A = 2В; В = ¹/₃С; С = ³/₄D; определить углы?

13)  Какого вида 4-к АВСD, если A=80°; B=100°, С=75°? если   A=72°,   В=D=108°?   если   A=32°,   B=148°,   С=32°?

14)  Какого вида будет   4-к  АВСD, если А + В = С + D ? если  А+В=С+D   и   А=С?  если   А+В = С+D и А = D?

15)  В 4-ке АВСD диагональ  АС делит углы А и С так, что   уг.   BAС=70°,   DАС=⁵/₁₂ d,   BСА = 48°,   DСА = ⁵/₁₈ d; определить углы 4-ка?

16)  Опрeделить углы ромба, если диагональ его образует с стороной уг. в 26°27'30"?

17)  Сторона ромба образует с диагоналями углы, из которых один на ³/₁₆ d больше другого; определить углы ромба?

18)  Диагонали прямоугольника делят углы его на части, которых отношение = ²/₃ под каким углом пересекаются диагонали?

19)  Доказать, что точка пересечения диагоналей ромба находится в равных расстояниях от сторон его?

Построить квадрат:   20)   по данной стороне? 21) по данному периметру? 22) по данной диагонали?

23) Построить квадрат так, чтобы расстояние его стороны оть точки пересечения диагоналей было равно данной прямой а?

Построить прямоугольник: 24) по основанию и высоте? 25) по стороне и диагонали? 26) по стороне и углу, который она составляет с диагональю? 27) по диагонали и углу между диагоналями?

Построить ромб: 28) по стороне и углу? 29) по стороне и одной диагонали? 30) по диагоналям? 31) по периметру и углу?

Построить параллелограмм 32) по двум сторонам и углу между ними? 33) по двум сторонам и диагонали? 34) по одной стороне и диагоналям?   35) по диагоналям и углу между ними?

36)  Сколько   нужно   дать   частей, чтобы   построить   квадрат? ромб? прямоугольник? параллелограмм?

37)  Найти точку, равноотстоящую от вершин прямоугольника?

38)  Даны параллельные линии ВА и СD и точка Е; провести из Е прямую линию, которая пересекала бы АВ и СD, притом так,   чтобы  часть  этой   пересекающей,   заключающаяся между параллельными линиями, равнялась данной прямой т ?

Построить 4-к: 39) по сторонам а, b, с, d и диагонали е? 40)  по сторонам а, b, с, d и углу А между а и b

Построить трапецию: 41) по двум параллельным сторонам b и d (причем b > d) и углам В и С, прилежащим к b? 42) по одной из параллельных сторон d, но непараллельной стороне с и углам А и В, прилежащим к d?

ОТВЕТЫ