ГЛАВА VII.

ОБ ОКРУЖНОСТИ .

138. Окружностью наз. такая кривая линия (чер. 204), все точки которой лежат в одной плоскости и находятся в равных расстояниях от центра.

Линии ОА, ОВ, соединяющие какую-нибудь точку окружности с центром, наз. радиусами; все радиусы, по свойству окружности, равны между собою. Всякая часть окружности, напр. часть, заключающаяся между точками Е и F, наз. дугою. Дуга обозначаетея или тремя буквами,из которых две ставятся при её конечных точках, а третья в какой-нибудь средней точке, напр. дуга FКЕ (чер. 204), или же двумя буквами, напр. дуга АВ; слово дута изображается знаком , напр.  АВ. Окружность обозначается или трeмя буквами, поставленными при каких-нибудь её точках, или одной буквой, поставленной при центре; напр. окружность АND (чер. 204) или окружность O. Прямая линия, соединяющая две какие-нибудь точки окружности (напр. ЕF), наз. хордою; хорда, проходящая через центр (напр. МN), наз. диаметром. Диаметр делит окружность пополам, или на две равные части.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, наз. кругом; часть круга АОВ, заключающаяся между дугою и двумя радиусами, наз. вырезком или сектором; а часть круга ЕКF, заключающаяся между хордою ЕF и соответствующей ей дугою, наз. отрезком или сегментом.

139. Какая-нибудь точка может иметь относительно круга три положения: или она лежит вне круга, или внутри его, или на окружности. Когда точка М (чер. 205) лежит внутри круга,то её расстояние от центра меньше радиуса; для точки N, лежащей на окружности, это расстояние = рад.; наконец точка Р, лежащая вне круга, находится от центра в расстоянии, большем радиуса.

140. Если имеем окружность и прямую линию, то эта прямая может или вовсе не встретить окружности, как напр. линия АВ (чер. 206), или она пересекает окружн. в двух точках, как напр.линия СD — в этом случае она наз. секущей или наконец прямая линияможет иметь с окружностью только одну общую точку, как наар. линия ЕF, которая только касается окружности в точке М; линия ЕF наз. касательною, а точка М наз. точкой прикосновения или касания.

Если мы представим себе, что секущая ЕF (чер. 207) повертывается около точки А, принимая последовательно положение АВ, АС, то отрезок её внутри круга будет постепенно уменьшаться и наконец совершенно уничтожится, обратится в точку; тогда секущая обратится в касательную РQ.

141. Если бы требовалось начертить окружность так, чтобы она прошла через данную точку А (чер. 208), то можно бы взять за центр какую угодно В, С, D..., и радиусами ВА, СА, DА... описывать окружности; все они пройдут через точку А, и как этих окружностей может быть сколько угодно, то задача о проведении окружности через одну данную точку есть задача неопределенная.

142. Пусть требуется провестиокружность через две точки А и В (чер. 209).

Соединим А и В прямой линией и из средины АВ восставим к ней перпенд. MN; каждая точка этого перпенд. находится в равных расстояниях от А и В; след. каждую из точек С, D, Е, F... можно принять за центр, и радиусами СА, DВ... описывать окружности; все они пройдут через точки А и В. Таким образом и эта задача будет неопределенная.

143. Положим теперь, что надо провести окружность через 3 данные точки. Если эти точки лежат на одной прямой линии, напр. точки А, В, С (чер. 210), то задача невозможна,так как прямая линия может пересекать окружность только в двух точках.

Возьмем же такие три точки А, В, С (чер. 211), которые не лежат на одной прямой. Соединим их прямыми линиями АВ, ВС. Чтобы окружность прошла через А и В, центр её, по предыдущему, должен лежать на перпенд. DЕ, восставленном из средины АВ; чтобы она прошла через В и С, центр должен лежать на перпенд. FК, восставленном из средины BС; след. он будет в точкe пересeчения перпендикуляров, т. е. в О. Если из О радиусом ОА, или ОВ, или ОС опишем окружность, то она пройдет через точки А, В и С. Эта задача опредeленная, т.е. имeет только одно рeшение; иначе говоря — через  три точки, не лежащие на одной прямой линии, можно провести окружность, и притом только одну.

144. Через 4, 5, 6... точек не всегда можно провести окружность. Если напр., соединивши точки А, В, С, D (чер. 212), получим прямоугольник, то окружность можно описать, и центр её будет находиться в точкe пересeчения диагоналей прямоугольника. Но если бы, соединивши точки А, В, С, D (чер. 213), получили косоугольный параллелограмм, то окружности нельзя было бы описать.

В каких   случаях можно провести   окружность через 4, 5, 6... точек—это мы увидим впослeдствии.

145.  Вопросы.   1) Что наз. окружностью, кругом, хордою, радиусом, диаметром, дугою, сектором, сегментом, сeкущею, касательною? 2) Какие положения может имeть точка относительно круга?  3) Какие положения  может   имeть  прямая относительно окружности? 4) Во скольких точках прямая может пересeкать окружность?

146.  Задачи. 1) Описать круг на данной линии (т.е. так, чтобы эта линия была диаметром круга)?

2)  Имeем круг радиуса 5 дюйм.; точка А находится в расстоянии 2 дюйм. от центра, точка В в 5 дюйм., С в 8 дюйм.; опредeлить положение этих точек относительно окружности?

3)  Дана окружность и на ней точка М; провести из М хорду  равную данной прямой b? Всегда ли эта задача возможна?

4)  Описать из точки А окружность   так,  чтобы она проходила через точку B?

5)  Описать   окружность   радиусом,   равным  данной линии а, так, чтобы она проходила через точки С и D.

6)  Опредeленна  ли   предыдущая   задача? Гдe   будет центр, еели а = ¹/₂ CD? если а меньшее ¹/₂ CD? Всегда ли возможна эта задача?

7)  Имeем круг, которого радиус =8 дюйм.; если из центра его опустим   перпендик.   на  линию АВ, то этот   перпенд.=12 дюйм.; перпенд. же, опущенный из центра на линию СD, равен 5 дюйм.; наконец, на линию   МN нельзя опустить перпенд. из центра. Опредeлить положение этих линий относительно круга?

8)  Описать окружность так, чтобы данная линия АВ была в ней хордою, и центр находился бы на данной линии CD?

9)  Гдe будет центр, если АВ (пред. зад.)   перпендикулярна к CD?  eсли  АВ и СD  служат  друг  другу  продолжением? Всегда ли возможна предыд. зад.?

ОТВЕТЫ