ГЛАВА VII.

ОБ ОКРУЖНОСТИ .

165. Фигуры, вписанныя в круг и описанныe около него. Многоугольник, вершины котораго находятся на окружности, наз. вписанным в круг; на чер. 243-м представлены вписанные треугольник, четыреxугольник и пятиугольник.

Маогоугольник, которoго стороны касаются круга наз. описанным около круга; на чер. 244-м представлены описанные треуг. и четыреxуг.

166. Если требуется вписать в круг какой-нибудь нецравильный многоугольник, напр. семиугольник, то стоит только взягь на окружности 7 произвольных точек А, В, С... (чер. 245)   и соедннить их прямыми линиями.

Если бы хотeли описать около круга четырехугольник, то слeдовало бы взять на окружности 4 точки и провести в этих точках касательные; от пересeчения касательных и образуется описан. четырехуг. (чер. 246).

167. Положим теперь, что нужно вписать в круг прав. многоуг., напр.  пятиугольник. Для этого нужно раздeлить окружность на 5 равных частей; вся   окружн.=360°, слeд. в пятой долe её будет 72°; поэтому построим при центрe круга (чер. 247) по транспортиру   уг.   72° и будем хорду АВ откладывать по окружн.; она уложится ровно 5 раз—и тогда образуется 5-к.

Он будет правильный, потому что всe стороны его равны между собою; углы тоже равны, так как каждый из них измeряется половиною трех пятых окружности и слeд. содержит 108°.

Если бы нужно было вписать прав. 9-к, то слeдовало бы раздeлить окружность на 9 равных частей, т.е. построить при центрe уг. в 40°; при 20-кe надо построить уг. в 18°, и т. под.

Положим еще, что надо вписать прав. 7-к;
седьмая часть окружн.= ³⁶⁰/₇= 51³/₇=51°25'42⁶/₇". На транспортирe не означены не только секупды, но и минуты; поэтому такого угла нельзя отложить точно—мы отложим непремeвно или больше, или меньше его; оттого и послeдняя сторона многоуг. выйдет или меньше или больше остальных сторон.

Гораздо точнeе вписывать прав.многоугольники без помощи транстортира, а посредством только циркуля и линейки; но таким способом можно вписывать только нeкоторые многоуг., напр. квад-рат, 6-к.

168.  Чтоб   вписать   в   круг квад-рат,   должно   раздeлить   окружн.   на 4 равныя части; а для этого надо (чер. 248) провести   два    перпевдикулярных    диаметра;   

если   соединить   концы   их,   то получим квадрат, потому что всe стороны его равны между собою, как хорды, стягивающие равные дуги; всe углы прямые, как имeющие   вершину на окружности и опирающиеся на концы диаметра.

169.  Чтоб вписать в круг   прав.   шестиугольн., отложим от какой-нибудь точки окружн. (чер. 249) хорду АВ  = радиусу;   тогда,   проведя   радиусы  АО  и  ВО,   получим равносторонний тр-к АОВ; слeд. уг. АВО=60°, и дуга АВ будет шестая часть окружн.; а потому хорда АВ отложится по окружн. ровно 6 раз.

170.  Умeя вписывать прав. 6-к, легко уже вписать и прав. тр-к. Для этого должно раздeлить сперва окружность на 6 равных   частей   (чер. 250) в точках   В, А, С, потом соединить точки А, С и Е; получим правильный тр-к АСЕ, потому что стороны его равны, так как каждой из них соотвeтствует дуга, составляющая ¹/₃ окружности.

171. Слeдующим саособом можно с достаточной точностью вписывать в круг всякий   прав. многоуг.   Чтобы вписать напр. нрав. 9-к,  проводим  в  кругe (чер. 251) диам.   АВ;

строим на АВ равностор. тр-к АВС; дeлим АВ на 9 равных частей; соединяем вершину С тр-ка со второй точкой дeления D и продолжаем прямую СD до пересeчения с окружн. в Е; хорда AЕ отложится по окружности 9 раз.

Если бы нужно было вписать прав. 5-к, то надо бы раздeлкгь диаметр на 5 равных частей (чер. 252); для 7-ка на 7 частей (чер. 253), и т. под.

172.  Еcли какой-нибудь прав. многоуг. вписан в круг, то можно  удвоить число сторон мн-ка, т.-е. вписать такой прав. мног., который имeл бы вдвое больше сторон.

Пусть напр. АВСDEG (чер. 254) будет прав. 6-к; опустим из центра О перпендикуляры на всe стороны мн-ка; тогда дуги AВ, ВС... раздeлятся пополам; соединив точки дeления с вершинами 6-ка, получим прав. 12-к. Опустив перпенд. на стороны этого 12-ка, впишем прав. 24-к, потом 48-к, и т. д.

Таким образом посредством циркуля и линейки мы можем вписывать в круг правильные 6-ки, 12-ки, 24-ки..., а также квадраты, 8-ки, 16-ки...

173.   С   увеличением   числа   сторон   вписан. многоуг., самые стороны будут становиться   все  мельче и мельче, и периметр   мн-ка  будет   болeе и болeе подходить к окруж., так что окружность можно считать за периметр такого прав. мн-ка, который имeет чрезвычайно много сторон.

174.   Если в круг вписать прав. многоуг., то легко и описать прав. многоуг. того же числа сторон.

Пусть напр. AВСDЕ (чер. 255) будет прав. 5-к; опустим из центра на стороны  мн-ка  перпендикуляры и через  точки M, N.. проведем касательные; тогда получится прав. описанный 5-к.

Можно также (чер. 256) провести касательные через вершины вписанного многоугольника.

175. Рассмотрим, около каких фигур можно описать круг. Мы уже знаем (§ 143), что через три точки, не лежащие на одной прямой линии, всегда можно провести окружность; слeд. около всякого треугольника можно описать круг.

Возьмем теперь четырехуг. АВСD (чер. 257). Проведем окружн. через три точки А, В, С (мы уже умeем это сдeлать); окружн. эта может пройти также и через точку D, но может и не пройти. Eсли она пройдет через D, то уг. D будет содержать столько градусов, сколько их содержится в ¹/₂ дуги АВС; а так как уг. B измeряется ¹/₂ дуги АDС, дуги же АВС и АDС составляют вмeстe цeлую окружн., то углы D и В составят в суммe 180°; но сумма всeх угл. четыреуг.=360°, cлeд. и А+С==180°.

Итак, круг можно описать только около такого четырехугольника, в котором сумма противолежащих углов=180°. Таким образом, можно описать круг около прямоуголь-ника, а около косоугольного параллелограмма нельзя.

176. Около всякого прав. многоуг. можно описать круг. Пусть АВСDЕF  (чер. 258)  есть прав. многоуг.; внутри его можно найти такую точку, которая будет находиться в  равном расстоянии от всeх его вершин.

Чтобы сдeлать это, раздeлим углы А и В пополам линиями АО и ВО; точка пересeчения этих линий и будет искомая. Докажем, что линии АО, ВО,  СО, DO...равны   между   собою.

Треуг. АВО =  ОВС, потому что у них сторона ВО общая, АВ=ВС, как стороны прав. мн-ка,   уг. т = уг. п, как половины угла   В;  сдeд.  и   линия АО = СО; но АО=ВО,   потому   что   тр-к   АВО равнобедр., так как уг. т =уг. р, как половины равных углов; слeд., всe три линии АО, ВО,  СО равны между собою. Сравнивая   тр-ки   ВОС   и   СОD, найдем, что ВО= СО=ОD...; слeд. если из O радиусом ОА, или ВО, или OC... описать   окружн., то   она   пройдет   через   вершины всeх углов многоугольника.

177.   Eсли   около   прав. мн-ка  (чер. 259)   описан круг то стороны   АВ, ВС...   этого   мн-ка  будут в кругe хордами;   

но   равныe хорды находятся в равных раcстояниях от центра; слeд. перпендикуляры ОМ, ОN.., опущенные из центра O на стороны мн-ка, будут равны между собою, и если из O радиу-сом ОМ или ОN.. опишем круг, то он коснется всeх сторон мн-ка в точках М, N... Такой круг назыв. вписанным, а радиус его наз. апофемою мног-ка.

Итак, во всякой прав. многоуг. можно вписать круг.

Таким образом, центром кругов, описанного около мн-ка и вписанного, будет точка пересeчения линий, дeлящих два угла мн-ка пополам; радиусом описан. круга будет линия, соединяющая центр с вершиной одного из углов мн-ка; а радиусом вписан. круга или апофемою — перпендикуляр, опущенный из центра на одну из сто-рон мн-ка. Центр вписанного и описанного кругов наз. также центром правильного мн-ка.

178.  Вопросы. 1) Какие мн-ки наз. вписанными в круг? описанными?   2)  Вписать   в  круг   какой-нибудь   мн-к?   описать? 3) Как вписать в круг посредством транспортира какой-нибудь прав. мн-к? 4) Как вписать в круг посредством циркуля и линейки квадрат? прав. 6-к? 5) Если прав. мн-к вписан в круг, то как вписать прав. мн-к, имeющий вдвое больше сторон? 6) Если прав. мн-к вписан в круг, то как описать прав. мн-к того же числа сторон? 7) Что дeлается с периметром прав. вписан. мн-ка при увеличении числа сторон его? 8) Всегда ли можно описать круг около тр-ка? 9) Доказать, что около всякого прав. мн-ка можно описать и вписать в него круг? 10) Можно ли вписать в круг параллелограмм? трапецию? 11) Что дeлается с периметром прав. описан. мн-ка при увеличении числа сторон его?

179. Задачи. 1) Вписать в круг 4-к? 8-к? 10-к? 15-к?

2)   Описать около круга 4-к? 7-к? 3-к? 5-к?

3)  Вписать в круг посредством трансп. прав. 10-в? 15-к? 20-к?

4)  Вписать в круг посредством циркуля и линейки прав. 8-к?

5)   Описать около круга посредством трансп. прав. 5-к? 9-к? 10-к?

6)  Описать около круга посредством циркуля и линейки прав. 3-к? 6-к? квадрат? 12-к?

7)  Около тр-ка описан круг, и центр его находится внутри тр-ка; какого  вида  этот  тр-к? Какого вида   был бы  тр-к, если бы центр был на сторонe тр-ка? внe тр-ка?

8)  Начертить   посредством  транспортира  такой   прав.   5-к, 8-к, 10-к, чтобы радиус описанного около него круга = линии т?

9)  Начертить   посредством  транспортира  такой   прав.   5-к, чтоб его апофема равнялась данной линии?

10)  На данной прямой линии построить с помощью транспортира правильный 5-к? 8-к? 10-к?

11)  В кругe  проведена  хорда;   из концов её восставлены перпендикуляры до встрeчи с окружностью; точки встрeчи соединены прямою; какого вида получился четыреугольник?

12)  Рад.   круга=3,6   дюйм.;   чему  равен   периметр  описанного квадр.?

13)  Доказать, что   сторона вписанного   в круг   правильного тр-ка находится в расстоянии половины радиуса от центра этого круга?

14)  В круг  вписан   4-к; вершины его дeлят окружность на   части,  находящиеся   в   отношении   4:7:5:11;   опредeлить углы 4-ка?

15)  В круг вписан прав. тр-к, и сторона его отстоит на 7¹/₂ дюйм. от центра этого круга; опредeлить радиус круга?

16)  Доказать, что  внутренний  угол всякого прав. мн-ка служит дополнением   до   180° тому  углу,  который   получится от соединения двух сосeдних вершин этого мн-ка с его центром?

17) Доказать, что если хорда АВ (чер. 260) = радиусу круга О, а АО есть сторона прав. впис. 10-ка, то, соединив точку В с С, получим сторону прав. впис. 15-ка.

На данной прямой линии а построить помощью циркуля и линейки: 18) прав. тр-к? 19) квадрат? 20) прав. 6-к? 21) прав. 8-к? 22) прав. 12-к?

Посредством циркуля и линейки построить: 23) квадрат по рад. r опиcаннoго круга? 24) квадрат по апофемe а? 25) прав. 6-к по рад. r опис. круга? 26) прав. 6-к   по   апофемe а ? 27)  прав. 3-к по рад. r опис. круга? 28)  прав. 3-к по апофемe а?

29)  В данный ромб вписать круг?

30)  Описать круг около прямоугольника?

31)  В кругe вписан тр-к; одна сторона его есть диаметр, а двe другие стягивают дуги, которых отношение есть 15 : 17; опредeлить углы тр-ка?

ОТВЕТЫ