ГЛАВА VII.

ОБ ОКРУЖНОСТИ .

180. Опредeление длины  окружности.  Длина  измeряется аршинами, дюймами..., вообще линейными мeрами; но окружность ееть линия кривая, а аршин, фут... прямые линии; поэтому для измeрения окружности ее надо прежде вытянуть в прямую линию. Возьмем деревянный кружок, обогнем его ниткой, потом ее вытянем и начертим прямую АВ (чер. 261), равную длинe нитки.

Затeм возьмем циркулем длину диаметра кружка и будем ее откладывать по АВ, начиная от А; мы увидим, что она отложится 3 раза и останется еще остаток МВ. Если раздeлить диаметр кружка на 7 равных частей, то седьмая часть будет почти равна остатку МВ. Слeд. окружность кружка в 3¹/₇ раз  больше диаметра. Если взять кружки других величин и повторить с ними то, что мы сейчас изложили, то окажется, что всякая окружность в 3¹/₇; раза больше своего диаметра; иначе говоря—отношение окружности к диаметру равно 3¹/₇ или ²²/₇.  Поэтому,   чтобы узнать  длину  окружности, надо смерить её диаметр и полученное число умножить на ²²/₇; если напр. диаметр=21 дюйм., то окружность=21• ²²/₇=3•22=66 дюйм.

Наоборот—если известна длина окружности то, разделив ее на ²²/₇ найдем длину диаметра; напр. если окружн.= 6²/₇ арш., то диам.= 6²/₇ : ²²/₇ = ⁴⁴/₇: ²²/₇=2 арш.; след.рад.=1 арш.

Чтобы выпрямить окружность, т.е. начертить прямую линию, которой длина была бы равна длине данной окружности, нужно, как видно из предыдущаго, разделить диаметр этой окружности на 7 равных частей и начертить прямую линию, равную 22 таким частям.

181.  Так  как   каждая окружность в ²²/₇ раз больше своего диаметра, то след. если   одна   окружн. будет иметь диаметр в 2, 3, 4... раза больше, чем другая, то и длина первой окружности будет в 2, 3, 4... раза  болыпе, чем длина второй.

182.   Зная, что окружность в ²²/₇ раз больше диаметра,  можно: 1) вычислить длину дуги по данному радиусу и числу градусов, мин., сек., которое она содержит; 2) определить радиус дуги по её длине и числу градусов; 3) определить число градусов дуги по её длине  и радиусу. Возьмем несколько примеров.

1)   Сколько вершков содержит дуга в 72°, которой рад.= 35 верш.?

Определим сперва длину целой окружности: если рад.=35 вершк., то диаметр=70 вершк.; сдед. окружн.=70 • ²²/₇=220 вершк.; а   потому 1°= ²²⁰/₃₆₀  = ¹¹/₁₈ верш., а дуга в 72°= = ¹¹/₁₈ • 72 = 44 вершк.

2)  Вычислить длину дуги в 2°30', если  рад.=42 дюйм.? Вся окружи.=84• ²²/₇=264   дюйм.; обратив   2°30' в минуты, получим 150'; но вся окруж. содержит 360•60 мин.;.

след. 1'= ²⁶⁴/_360•60 дюйм., а 150' = ²⁶⁴/_360•60• 150 = 1⁵/₆   дюйм.

3)   Дуга в 3°12' равна 3,52 фут.; определить её радиус? Определим сперва длину целой окружности: если 3°12' или  192'=3,52 ф., то 1'= ^3,52/₁₉₂; а   вся   окружность, или  360•60 мин.  будет = ^3,52/₁₉₂• 360•60  фут. Разделив  это  выражение  на ²²/₇, найдем длину диам.=126 фут., а след. рад.=63 фут,

4)   Сколько   градусов в дуге, которой рад.=21 вершк., если длина её =33 вершк.?

Окружность, которой радиус 21 вершок, равна 42• ²²/₇  =132 вершк.; а так как дуга =33 вершк., то она составляет ³³/₁₃₂ или ¹/₄ окружн. и след. содержит 90°.

5)  Угол 49°13'7¹/₂" имеет вершину на окружности и опирается на дугу 13³/₄ дюйм. длины; определить в вершках радиус круга?

Дуга, на которую опирается угол, равна 98°26'15"; теперь определим длину окружности; так как дуга в 98°26'15"=13³/₄ дюйм., то вся окружность будет во столько раз больше 13³/₄ дюйм., во сколько 360° больше 98°26'15";

т.е. окружность=13³/₄ дюйм. • ^360°/ _98°26'15"  Обpатив   360° в секунды и 98°26'15" в секунды, найдем, что ^360°/ _98°26'15" = ^{360°• 60° • 60°}/₃₅₄₃₇₅  
след.  Для определения величины радиуса остается это число разделить на 2 • ²²/₇; найдем, что

6)   Сколько град., мин., сек. содержит дуга, которой длина равна её радиусу?

Целая окружность болыпе своего радиуса в ⁴⁴/₇ раз; след. чтобы найти, сколько град. содержит та часть окружн., которая равна радиусу, нужно 360° разделить на ⁴⁴/₇; получим   ^{360 •7} /₄₄  =57 ³/₁₁°  = 57° 16' 21 ⁹/₁₁ ".

183. Заметим, что точно определить, во сколько раз каждая окружность больше своего диаметра, невозможно, и число 3¹/₇ , выражает величину отношения окружности к диаметру только приближенно. Это отношение принято обозначать греческой буквой π; впервые оно было определено еще в древности знаменитым греческим ученым Архимедом, который и нашел, что π = 3¹/₇. Более точное выражение для π есть π = 3,1416. Математик Меций нашел, что π = ³⁵⁵/₁₁₃

Помощью простого чертежа можно показать, что π >3 и <4. Действительно, возьмем круг (чер. 262);

впишем в него прав.6-к и опишем около круга квадрат. Сторона 6-ка равна радиусу круга, а сторона квадрата = диаметру круга; след. периметр 6-ка равен 3 диаметр., а перим. квадрата = 4 диаметр. Но длина окружности больше периметра 6-ка и меныпе периметра квадрата; слец., длина онружноети >3 диаметров и <4 диам.: иначе говоря, π >3 и <4, т.е. π должно быть равно 3 с дробью.

184. Задачи. 1) Радиус =28 арш.; найти длину окружности?

Примеч. В этой и следующих задачах принять отношение окружности к диаметру равным ²²/₇.

2)  Окружность = 616 арш.; чему равен радиус?

3)  Найти длину дуги в 18°, если радиус = 3¹/₂ арш?

4)  Окружность бревна =11 вершк.; найти толщину его?

5)  Дуга  в   4  дюйма составляет часть  окружности, которой  длина 20 дюйм.; сколько градусов в дуге?

6)  В   окружности   рад. 26¹/₄   дюйм.   построен   центральный угол; длина его дуги=11 дюйм.; определить его?

7)  В окружн., которой рад. 5¹/₄ вершк., вписан уг., опирающийся на дугу в 4¹/₈ вершк. длиною; найти величину угла?

8)  Найти длину дуги в 72°, если рад.=3¹/₂ фут.?

9)  Найти длину дуги в 11 °15', если рад.=1¹/₆ фута?

10)  Градус земного экватора=105 вер.; найти рад. земли?

11)  Глобус имеет 4,2 фута в диаметре; какой величины на  нем градус меридиана?

12)  В круге, которого   рад. = 7 дюйм., вписан   правильный 6-к; на сколько окружность больше периметра этого 6-ка?

13)  Пруд, имеющий вид круга, которого рад. 56 саж., обсажен деревями, и расстояние середины одного дерева от средины другого=11 вершк.; сколько деревьев около пруда?

14) Переднее колесо кареты имеет в диаметре 2¹/₃ фута, а  заднее в 1¹/₂ раза больше; сколько оборотов делает то и другое колесо на расстоянии 5¹/₂ верст?

15)  В круге, которого радиус 42 дюйма, проведена хорда в 42 дюйма, на сколько эта хорда короче соответствующей дуги?

16)  Дуга в 154°30'=113,3 дюйм.; найти её радиус?

1.7) В круге радиуса 5 дюйм. вписан уг. в 42°; найти длину дуги, на которую опирается этот угол?

18) Колесо телеги на расстоянии 3 вер. 260 саж. сделало 1120 оборотов; найти диаметр колеса?

19) В круге рад. 21 саж. вписан   правильный  18-к; найти длину дуги, стягиваемой каждой стороною этого многоугольника?

20)  Дуга, стягиваемая стороной правильного вписанного   6-ка, равна 5¹/₂ дюйм.; найти периметр 6-ка?

21)  Какое пространство проходит в час каждая точка экватора вследствие   обращения   земли   около   оси? Рад. экв. = 6013. верст.

22)  Колесо экипажа, имеющее радиус 1¹/₄ фута, сделало 245 оборотов. Сколько сажен проехал экипаж?

23)  Сколько оборотов сделает колесо, которого диаметр 2¹/₄ фута, на расстоянии 1 вер. 292 саж.?

24)  Найти в дюймах длину дуги 22°30', которой рад.=1 арш.?

25)  Дуга в 36° равна 2¹/₅ фут.; сколько сажен в её радиусе?

26)  Сколько градусов, минут, секунд содержит дуга, которой длина 16¹/₂ дюйм.. а рад. 1 саж.?

27)  Дуга в 5°37'30"=1³/₈ дюйм.; найти её рад.?

28)  Наружная окружность круглой башни=11 саж., а внутренняя=7 саж. 6 фут.; определить толщину стен?

29)  Минутная стрелка башенных часов имеет 3¹/₂ фута длины; какое пространство пройдет оконечность этой стрелки в сутки?

30)  Радиус одной окружности в 5 раз больше, чем другой; во сколько раз первая окружность длиннее второй?

31)  Два города лежат под одной широтой; долготы их 45° и 30° к востоку от Ферро. Найти расстояние между этими городами, зная, что   радиус   соответствующей им параллели = 574 геогр. миль?

32)  Решить  пред. зад., полагая, что   долготы   суть   8°15' О и 11°45' W от Ферро?

33)  Заднее колесо   экипажа   имеет в окружности 11 фут. и делает 30 оборотов в то время, в какое  переднее делает их 40; определить диаметр переднего колеса?

34)  Из проволоки весом   в 2 фун. 28 золотн.   сделаны 10 одинаких  колец; определить   диаметр   каждого   кольца, зная, что 1 фут проволоки весит 12 золотн.?

35)  Надо сделать зубчатое колесо 1 арш. в диаметре, притом такое, чтоб   расстояние между серединами каждых двух соседних зубцов=4 дюйм.; сколько выйдет зубцов?

36)  Лошадь   в   44   секунды   пробежала   окружность, которой диам.=87,5 саж; сколько может пробежать она в 1 мин.. если будет бежать с такой же скоростью?

37) Окружность   больше   своего   диаметра на 25 дюйм.; найти длину её?

38)  Дуга сектора=90°; длина дуги меньше диаметра на 1 фут; сколько аршин в радиусе?

39)  Для бега устроено место, ограниченное двумя  концентрическими   окружностями;   наружная   окружность=3,08   верст,   а внутренняя=2 вер. 452 саж. Найти ширину бега?

40)  Двор имеет форму прямоугольника, на меньшей стороне которого   описан   полукруг, находящийся  вне прямоугольника; длина  прямоуг.= 24 саж., ширина на 5 саж. 1 арш. меньше. Сколько можно сделать шагов вокруг этого двора, если шаг  =1¹/₈ арш.?

41)  Двор имеет   вид   прямоугольника, на меньшей стороне которого   описан   полукруг, находящийся  вне прямоугольника; длина прямоугольной части двора больше ширины на 5 саж.; вся. граница двора=74 саж. Определить ширину двора?

42)  Определить   длину   окружн., которая   на 74 дюйм. болыне радиуса?

43)  Начертить окружность, равную сумме трех окружностей, которых радиусы r, r₁, r₂?

44)  Начертить окруж., которая была бы втрое длиннее данной окружн.?

45)  Начертить окружность, равную разности двух окружностей, которых радиусы r и r₁?

46)  Начертить окружн., которая была бы вдвое короче данной окружн.?

47)  Из вершины   угла   в 60° описана дуга рад. = 21 дюйм.; определить длину дуги и соответствующей ей хорды?

48)  Под широтой 47° длина градуса долготы=75780 метрам; определить в верстах величину  радиуса соответствующего параллельного круга, зная, что 1 метр=1,4 арш.?

ОТВЕТЫ