ГЛАВА VIII.

О ПОДОБИИ ФИГУР .

185. Подобные треугольники. На чер. 263-м представлены треугольники, имеющие соответственно равные углы: уг.A=уг.D= уг. М;  В=E=N,  С=F=К; все такие   тр-ки  по  виду похожи один на другой, и пототу их называют подобными.

Итак, треугольники  наз. подобными, если  углы одного равны порознь улам другого. Для означения подобия  употребляется знак ; треуг.АВС DЕF МNК. Раcсмотрим свойства подоб. тр-ков.

Начертим тр-к АВ С (чер. 264); потом возьмем линию аb, которая была бы втрое меньше АВ, и при концах   её   построим  углы, равные углам А и В; тогда составится тр-к  аbс, в котором и уг. с будет равен ур. С; след. тр-к  аbс  АВС.

Возьмем циркулем линию ас и будем ее откладывать по АС; мы увидим, что она уложится 3 раза; точно так же найдем, что и ВС втрое болыне bс; т.-е. во сколько раз АВ больше аb, во столько же раз и АС больше ас и во столько раз же и ВС болыпе bс. Это можно записать следующим образом: АВ : аb = АС : ас = ВС : bс.

Если возьмем линию тр, в 5 раз меныную АВ, и построим при т и р углы, равные углам А и В,то составится тр-к трп  АВС, и мы увидим, что пр будет впятеро меньше ВС, а тп во столько же раз меньше АС, т.е.  АВ : тр = АС: тп = ВС: пр.

Стороны АВ и аb, лежащие против равных углов, наз. сходственными; стороне ВС будет сходственная сторона bс в тр-ке аbс и пр в тр-ке тпр.

Таким образом, подобные тр-ки имеют то свойство, что во сколько раз одна сторона какого-нибудь тр-ка больше или меньше сходственной стороны другого, во столько же раз и другая, и третья сторона тр-ка больше или меньше своей сходственной. Иначе говоря,—отношение двух сходственных стороя подобных тр-ков равно отношению двух других сходственных сторон; и третьи стороны находятся в таком же отношении. Если имеем несколько таких величин, что одна из них во столько раз больше другой, во сколько третья больше четвертой, пятая больше шестой и т. д.; то такие величины наз. пропорциональными; так, числа 2, 6, 5, 15 будут пропорциональны, потому что 6:2=15:5. Поэтому можно сказать, что в подобных треугольниках сходственные стороны пропорционалны.

186. Если имеем два подобных тр-ка АВС и аbс (чер. 265) и если известна длина каждой стороны одного из этих тр-ков, напр. тр-ка АВС, а также длина одной из сторон другого тр-ка аbс, то можно определить, какую длину имеет каждая из прочих сторон тр-ка аbс.

Положим напр., что АВ= 4 арш.; ВС= 5 арш., АС= 6 арш., а аb=2 верш.; тогда сторона ас должна быть во столько раз меньше АС, т.-е. шести арш., во сколько 2 верш. меньше 4 арш.; но 4 арш.= 64 верш.; след. ас должна быть   в  32 раза меньше 6 арш., т.е. ас = ⁹⁶/₃₂   верш.  = 3   верш.;   cторона  bс  в 32 раза меныпе 5 арш., т.е. равна ⁸⁰/₃₂=2¹/₂ вершк.

187.  Положим, что требуется данную прямую дивию АВ (чер. 266) разделить   на   части, пропорциовальные   числам 2 : 3 : 4.

Это значит разделить АВ на такие три части, чтобы первая относилась ко второй, как 2:3, а вторая относилась к третьей как 3 : 4. Для этого разделим АВ на 2+3+4  или на 9 равных частей (§ 135); тогда искомые части будут АС, СD и DВ.

Положим еще, что нужно какую-нибудь прямую а разделить на 4 части в отношении   2 : ³/₈ : 1¹/₂ : ⁵/₄.  Для этого, заменим сперва отношение между дробями отношением целых чисел. Так вак 2 : ³/₈ : 1¹/₂ : ⁵/₄= ¹⁶/₈ : ³/₈ : ¹²/₈: ¹⁰/₈ =16 : 3 :12 :10, то надо данную прямую а разделить на 16+3+12+10 или на 41 равную часть; затем взять ¹⁶/₄₁, ³/₄₁ , ¹²/₄₁ и ¹⁰/₄₁ этой линии; тогда и получим линии находящиеся в требуемом отношении.

188.   Положим, что требуется к трем данным прямым. линиям т, п, р (чер. 267) отыскать   четвертую пропорциональную.

Это значит найти такую линию, которая имела бы такое же отношение к одной из данных линий, какое существует между двумя другими диниями, напр. которая была бы во столько раз меньше т, во сколько раз п меньше р. Для этого надо бы измерить эти линии, и тогда, узнавши их величины, легко вычислить и величину искомой линии. Пусть напр. п =3 верш., р =5 верш. т = 6 верш.; так как п = ³/₅ р, то и искомая линия должна составлять ³/₅  шести верш., т.е. она =¹⁸/₅ = 3³/₅  верш. Но можно, и не измеряя данных линий, построить или начертить искомую линию.

Для этого возьмем произвольный угол и на сторонах его (чер. 267)   отложим части AD = т и АВ= р; от А отложим АС= n  В еоединим с D, из С проведем СЕ || ВD ; АЕ будет искомая, ибо треуг. АЕС  АDВ и след. АЕ : т = п : р.

189.  Если треуг. АВС аbс (чер. 268), и каждая сторона первoго напр. втрое больше сходственной ей стороны второго, то и сумма всех сторон АВС втрое больше суммы сторон аbс;

иначе говоря — периметр  АВC втрое больше периметра аbс. Итак периметры  подобных  треуголников  относятся  между  собой как сходственные стороны.

Если напр. имеем два подобных тр-ка, и сторона одного = ²/₅ сходственной стороны другого, то и периметр первого составляет ²/₅ периметра второго.

190.  Если нужно начертить тр-к, подобный данному АВС (чер. 269),   то   берем   произвольную   прямую   МN и  при концах её строим углы, равные углам А и С.

Положим еще, что надо построить тр-к, подобный АВС (чер. 270), притом такой, чтобы стороны его составляли ³/₅ сторон данного тр-ка. Для этого одну из сторон тр-ка АВС, напр. АС, делим на 5 равных частей; берем прямую тп=3 таким частям и строим на ней тр-к, подобный АВС.