ГЛАВА IX.

О ПЛОЩАДЯХ .

210. Всякая фигура занимает нeкоторую часть плоскости; величина этой части наз. площадью фииуры. Могут быть такие фигуры, которые разлнчны по виду, не могут совмe-ститься одна с другою и слeд. не равны между собою, но занимают одинаковые части плоскости, имeют равные площади. Такие фигуры наз. равновеликими.

Возьмем, напр., два равных прямоуг. тр-ка А и В (чер. 307);

мы можем  приложить их друг к другу так, как показано на чер. 308—312-м; тогда мы получим два равнобедр. тр-ка С и D, ггрямоугольник Е и два параллелогр. F и М. Фигуры   С, D, Е, F, М не могут   совмeститься одна с другою, потому что они разлнчного вида; но всe они состоят из одних и тeх же тр-ков А и В: поэтому они занимают одинакое мeсто на плоскости, имeют равные площади; и если бы эти фигуры из ображали, напр., пол в разных комнатах, то для обивки пола в этих комнатах нужно бы на каждую комнату употребить одно и то же количество ковра; для окраски  потребовалось бы одно и то же количество красильного материала, и т. п.

Подобным образом, из четырех квадратов, равных а (чер. 313), можно составить квадрат А и прямоуг. В—фигуры, не равные, но равновеликие.

211. Возьмем параллелогр. АВСD (чер. 314) и прямоуг. ЕFНК, у которых основания и высоты равны: АВ=FЕ и LO=КЕ;

сравним площади этих фигур, т.-е. рассмотрим, равны ли они, иди нeт. Для этого разрeжем параллелогр. по динии _|_ к основанию, напр., по LO; тогда получим двe трапеции М и N (чер. 315).

Приложив трап. одну к другой так, как   показано на чер 316, мы получим прямоуг., равный ЕFНК (чер. 314);  слeд. параллелогр. АВСD (чер. 314) имeет такую же площ., как и прямоуг. ЕFНК; вообще параллелограмм и прямоугольник, имeющие равные основания и высоты, равновеликии.

212. Если имeем нeсколько параллелогр. АВСD, АВЕF, АВМN (чер. 317), имeющих одно основание АВ и равные высоты, то всe эти параллелогр. будут имeть равные площ., так как каждый из них равновелик такому прямоуг., который имeет с ними равное основание и равную высоту.

Итак, параллелограммы с равными основаниями и высотами равновелики.

213. Возьмем тр-к АВС (чер. 318), которого основавие АС, а высота ВD;

проведем из С линию || АВ, а из В линию || АС; тогда получим параллелогр. АВЕС, который с тр-ком АВС имeет одно основание и одну высоту. Так как тр-к АВС=ВЕС, то тр-к АВС= ¹/₂ параллелогр. АВЕС, и вообще всякий тр-к есть половина параллелограмма того же основания и той же высоты. Но параллелогр. с равными основаниями и высотами равновелики; слeд. и треугольники с равными основаниями и высотами равновелики.

Поэтому, если возьмем линию АВ (чер. 319), проведем eй параллельную МN построим на АВ нeсколько тр-ков так, чтобы вершины их были на MN, напр., тр-ки АВС, АВD, АВЕ..., то всe они будут равновелики, так как имeют одно основание и равные высоты.