ГЛАВА IX.

О ПЛОЩАДЯХ .

214. Измeрение площадей. Измeрить какую-нибудь площадь значит узнать, сколько раз в ней содержится другая площадь, принятая за единицу. За единицу для измeрения площадей принимают площадь квадрата, у которого каждая сторона есть аршин, сажень, фут..., вообще какая-нибудь линейная единица. Таким образом площади измeряются квадратными аршинами, квадр. фут. и т. под., и если напр. площадь пола в комнатe=10 квадр. саж., то этот пол занимает такое же пространство, какоe заняли бы 10 квадратов, у которых каждая сторона по сажeни, если б положить эти квадраты один возлe другого.

Положим, что надо измeрить   площадь   квадрата АВСD (чер. 320), и пусть abсd есть квадратный аршин; для этого надо бы положить квадр. арш. abсd на АВСD так, как это означено на чер. в положении (1); рядом с ним положим еще квадр. ар. (2), потом еще— (3), (4); затeм класть сверху (5) и т. д. до тeх пор, пока не наполнится   вся площадь квадрата АВСD;

тогда, сосчитавши, сколько положено квадр. арш., мы и нашли бы, что площадь  АВСD =16 кв. арш. Если бы при послeдовательном наложении получился остаток, в котором квадр. арш. не мог бы уложиться,   то надо бы   взять   мeру меньшую   квадр.   арш., напр. квадр. вершок, и смотрeть,   сколько раз эта мeра   уложится в остаткe. Но дeлать такое послeдовательное наложение и неудобно, и утомительно; притом, если измeрять площ. не квадрата,   а напр.   тр-ка  АВС  (чер. 321), то   никакая   квадр.   мeра   не может в такой фигурe уложиться без остатка;   сдeд.,   посредством послeдовательного    наложения    мы не могли бы точно опредeдить площ. тр-ка.  

Мы  покажем   теперь,   каким образом можно узнать, сколько заключается квадр. арш., фут., в какой-нибудь площади, не производя наложения квадр. единнцы.

215. Площадь квадрата. Возьмем квадр. АВСD (чер. 322) и положим, что abсd есть квадр. арш., а слeд. ab=ас есть линейный арш.

Накдадывая ab на АВ, найдем, что АВ содержит 4 арш., а стало быть и АС также = 4 арш. Проведя через точки f, g, h линии || АС, а через т, п, р ли-нии || АB, видим, что квадр. АВСD раздeлился на 16 квадр., равных abсd; т.-е. АВСD=16 кв. арш. Итак, чтоб опредeлить площадь квадрата, должно измeрить одну из его сторон аршином, футом..., вообще какой-нибудь линейной мeрой, и полученное число умножить само на себя; тогда произведение покажет, сколько в площади содержится квадр. арш.,квадр. фут..., вообще соотвeтствующих квадр. мeр. Если, напр., сторона квадр.=5 саж., то площ.=5•5=25 кв. саж. Точно также 1 кв. миля=7•7=49 кв. верст; 1 кв. верста=500•500=250000 кв. саж.; 1 кв. с.=9 кв. ар.=49 кв. ф., и т. под.

Произведение числа самого на себя наз. квадратом этого числа; таким образом, чтобы найти квадрат какого-нибудь числа, или, как говорят, чтобы возвысить число в квадрат, надо это число умножить само на себя: напр. квадрат числа 3 будет 3•3, т.-е. 9; квадрат числа 15 будет 15•15=225, и т. под. Вмeсто того, чтобы писать 3•3,5•5, 12•12 и т. под., пишут 3², 5², 12² и выговаривают 3 в квадратe, 5 в квадратe... Итак, чтобы опредeлить площ. квадрата, нужно измeрить его сторону и полученное число возвести в квадрат; правило это выражается короче так; площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Обратно—если извeстна величина площади квадрата, то можно опредeлить длину его стороны. Положим, напр., что площ. квадр.=64 кв. дюйм.; чтобы узнать, сколько дюйм. в его сторонe, надо найти такое число, чтобы, помножив его само на себя, получить в произведении 64, или, как говорят, надо извлечь квадратный корень из 64-х. Вообще, извлечь квадратный корень из какого-нибудь числа, значит найти такое число, чтобы, помножив его само на себя, получить данное число. Извлечение квадр. корня обозначается знаком √    . Квадр. корeнь из 64-х есть 8, т.-е. √64=8; слeд. сторона квадр.=8 дюйм. Если площ. квадр. будет 100 кв. вершк., то сторона его =  √100 = 10 вершк. Положим еще, что площ. квадр.=114 кв. дюйм.; так как 10²=100, а 11² = 121, то сторона квадрата будет  больше 10 дюйм. и меньше 11 дюйм.

216. Площадь прямоугольника. Если нужно измeрить площ. прям-ка, (чер. 323) АВСD, и если abсd есть квадр. арш., то смотрим, сколько раз ab, т.-е. аршин, содержится в основании и высотe прям-ка; находим что AВ = 3 арш., AС= 4  арш. Теперь уже легко видeть,что прям-к АВСD можно раздeлить на 12 квадратов равных каждый аbcd;

итак, АВCD=12= 3•4 кв. арш. Поэтому, чтобы опредeдить площ. прямоугольн., должно измeрить его основание и высоту одной какой-нибудь линейной единицей и полученныя числа перемиожить; произведение покажет, сколько содержится в прямкe соотвeтствующих квадр. единиц. Короче: площадь прямоуголиика = произведению его основания на высоту. Напр., если основ. прямоуг. = 5 арш., а высота = 4 арш., то площ.=5•4=20 кв. арш.

Если стороны прямка, которого площадь требуется опредeлить, измeрены различными единицами, то должно сперва чиела, выражающие длины сторон, привести в одно наименование и потом уже полученные числа перемножить. Пусть, напр., требуется опредeлить площ. прямка, которого одна сторона:=5 вершк., а другая=2 арш. Так как 2 арш.=32 верш., то площ.=32•5=160 кв. вершк. Если бы обратили вершки в аршины, то нашли бы, что площ.=2•⁵/₁₆ =⁵/₈ кв. арш.=⁵/₈•256 кв. верш.=160 кв. вершк., т.-е. получили бы прежний результат.

Если извeстна площ. прям-ка и длина одной из его сторон, то можно опредeлить длину другой стороны; если, напр., площ. прям-ка = 128 кв. дюйм., а одна из сторон = 16 дюйм, то для опредeления другой стороны надо найти такое чисдо, чтобы от умножения его на 16 получилось бы в произведении 128; для этого надо раздeлить 128 на 16—получится 8; слeд. другая сторона прям-ка = 8 дюйм.

217. Площадь параллелограмма. Мы знаем, что параллелограмм   равновелик   прям-ку,  который   имeет с ним одинаковое основание и высоту; поэтому  площ. параллелогр. равна произведению основания на высоту.

218.  Площадь треугольника. Всякий тр-к составляет половину   параллелогр.   того же основания и той же  высоты; слeд.  площ. тр-ка = половинe произведения  его основания  на высоту; если напр. основание=1 арш., а высота=7 вершк.,то площ. = ¹/₂•16• 7 = 56 кв. вершк.

Площ.   прямоуг. тр-ка равна   половинe   произведения его катетов.

219.   Площадь  трапеции.  Положим,  что надо измeрить площ. трапеции АВСD (чер. 324).

Возьмем точно такую же другую трапецию и приложим ее к первой; тогда получится (чер. 325) параллел. MNPQ, площадь которого вдвое больше площади трап.; слeд. площ. трап. АВСD=¹/₂ площ. MNPQ. Но высота параллелогр. та же самая, что и трап., а основание его составляет сумму параллельных сторон трап.; слeд. площадь трап.= полусуммe параллельных сторон её умноженной на высоту. Так, если АВ=8 фут., СD = 6 фут., а высота =4 фут., то площ. АВСD=¹/₂•(8+6)•4=7•4=28 кв. ф.

220. Площ. трап. можно выразить еще иначе. Раздeлим сторону ВD (чер. 326) пополам  в точкe Е и проведем ЕO||АС;

потом отрeжем тр-к ВОЕ; получим фигуру, изображенную на чер. 427-м; приставив к ней отрeзанный тр-к, как показано на чер. 328, получим параллелогр. MNPQ, который будет равновелик трап. АВСD.

Параллелогр. MNPQ имeет высоту такую же, как и трап.; а основание МQ= АО = GЕ (чер. 326), т.-е.  равно линии, проведенной из средины одной из непараллельных сторон   трап. параллельно её  параллельным сторонам.

Линия GЕ наз. средней  линией, и слeд. площадь трапеции = ея высотe, умноженной на среднюю линию.

Сравнивая это выражение площади трапеции с тeм, которое вывели прежде, мы должны заключить, что средняя линия равна полусуммe параллелных сторон трапеции.

221.   Площадь многоугольника.  Чтобы опредeлить   площадь многоугольника,   должно разбить  его   диагоналями  на  тр-ки, опредeлить площадь каждого тр-ка и всe эти   площади сложить.   

Если,  напр.,  в мн-кe АВСDЕ  (чер.   329) линия СА = 6 фут., BF=3 фут., СЕ=8 фут.,   АO = 4 фут., DM= 2¹/₂ фут., то площадь  квадр.  фут.

Можно также взять точку внутри мн-ка и провести из неё линии во всe вершины мн-ка; тогда он также разобьется на тр-ки.

222. Обращение многоугольника в треугольник. Для опредeления площади мн-ка гораздо удобнeе сперва превратить многоугольник в треугольник, т.-е. построить тр-к, равновеликий данному мн-ку.

Возьмем напр. пятиугольник   АВСDЕ (чер. 330). Проведем диагональ СА и из точки В проведем ВF ||  СА до встрeчи   с продолжением   стороны   ЕА; точку F соединим  с С; тогда получим   четырехуг. FСDЕ, равновеликий пятиугольнику  АВСDЕ.   Дeйствительно, оба эти мн-ка имeют общую  часть — АЕDС; придав к АЕDС тр-к   АСF,   получ. 4-к FСDЕ; придав же к АЕDC треугольн. АСВ, получим 5-к АВСDЕ.  Но тр-к   АСF равновелик  АСВ,   потому  что эти тр-ки имeют одно основание АС, а вершины их В и F лежат   на линии  ВF || основанию.   Теперь  4-к   FСDЕ превратим в тр-к; для этого   соединим С с Е, из D проведем DМ || СЕ и соединим С с M; тр-к  FСМ= FСЕ+СЕМ; а 4-к FСDЕ = FСЕ+ СЕD;  но  CЕM равновелик CED   слeд.   тр-к   FСМ   равновелик   4-ку FСDЕ, а потому и 5-ку АВСDЕ. Опредeлив площадь тр-ка FCM, мы узнаем и величину площади даннoго мн-ка АВСDЕ. Если бы дан был напр. 10-к, то посредством предыдущeго   построения  мы обратили  бы его  сначала  в 9-к„ потом в 8-к..., наконец в тр-к.

223. Площадь правильнoго многоугольника. Bозьмем прав. мн-к, напр. 6-к АВСDЕF (чер. 331);   

проведя  радиусы опясанного круга ОЕ, ОD..., мы раздeлим 6-к на 6 равных тр-ков, и слeд., чтоб   найти площ. 6-ка, должно опредeлить площ. одного из тр-ков, напр. АОВ, и умножить ее на 6. Но пл. АОВ = АВ• ¹/₂ОМ;   поэтому пл. АВСDЕF =6 АВ• ¹/₂ОМ;   линия   АВ, повторенная   6   раз,   составляет   периметр   мн-ка, а линия ОМ  есть   апофема; слeд. площ. прав. мн-ка = периметру, умноженному на  ¹/₂  апофемы.

224. Площадь круга и его частей. Мы видeди, что круг. можно принимать за правильный мног-к, имeющий чрезвычайно много сторон; периметр круга есть окружность, а апофема—радиус, поэтому площ. круга=окружности, умноженной на ¹/₂ радиуса. Если напр. рад. — 14 вершк., то окружн. = 2 •14•²²/₇ вершк., а площ. кр. = 2 •14•²²/₇•¹⁴/₂=  616 кв. вершк.

Произведение 2 •14•²²/₇•¹⁴/₂ можно представить в таком видe: 14 •14•²²/₇ = 14²•²²/₇; слeд. чтоб опредeлить площадь круга, надо квадрат его радиуса умножить на ²²/₇. Это дает возможность находить площ. круга, не вычисляя его окружности; если напр. рад. круга = 56 дюйм., то площ. его = 56²•²²/₇ = 9856 кв. дюйм. = 1 кв. саж. 19 кв. фут.. 64 кв. дюйм.

Если на радиусe круга построить квадрат, то площ. этого квадрата и будет равна квадрату радиуса; слeд. можно сказать, что площ. круга в ²²/₇ раз больше площ. квадрата, построенного на радиусe этого круга.

Сектор (чер. 332) можно рассматривать как тр-к, у которого основанием служит дуга, а высотой радиус; поэтому площ. сект.= дугe, умноженной на ¹/₂ радиуса.

Положим напр.,что дуга АВ=22°30', а радиус = 28 вершк. Чтоб опредeлить площ. сект. АВС, должно сперва опредeлить длину дуги АВ в тeх же мeрах, в каких дана длина радиуса, т.е. в вершках; так как окружность или 360°=56•²²/₇ вершк., то    а

;
поэтому   площ. сек.= 11•²⁸/₂ = 11• 14 = 154 кв. вершк.

Чтоб опредeлить площ. сегмента АВD (чер. 333), должно из площ. сектора САВD вычесть площ. тр-ка САD.

Чтобы опредeлит площадь кольца, т.е. площадь, заключающуюся между двумя концентрическими окружностями (чер. 334) должно из площади большего круга вычесть площадь меньшего.

Если напр. радиус одного круга=21, а другого= =14 вершк., то площ. первого круга будет=2²•²²/₇ =1386, а площ. второго = 14²•²²/₇ = 616 кв. вершк., слeд. площ. кольца =1386 — 616 = 770 кв. вершк.

225. Возьмем нeсколько задач.

1) Площ. сектора=3⁵/₂₄ кв. фут.; угол его=7°30'; опредeлить радиус?

Опредeлить сперва площ. цeлого круга; она будет во столько раз больше площади сектора, во сколько 360° больше 7°30' , т.е. она = ⁷⁷/₂₄•^{360 • 60}/₄₅₀ = 154 кв. фут.   Но,   как  мы видeли,   площ.   круга в ²²/₇ раз больше площ.   квадрата, построенного   на его радиусe;   слeд.   площ.   этого   квадр. =  154 : ²²/₇ = 49 кв. ф.; а потому сторона квадрата = √49  =  7 фут. Итак, радиус = 7 ф.

2) Площ.   сект. = 346 кв. ф.  72 кв.дюйм.; рад. его = 6 сажен.; определить угол сектора?

Число градусов дуги сектора будет составлять такую часть 360, какую площ. сект. составляет от площ. круга, имеющего рад. = 6 саж. = 42 фут. Площадь этого круга = 42•²²/₇ кв. фут., а площ. сектора = 346 кв. фут. 72 кв. дюйм. =  346⁷²/₁₄₄  кв. ф. = 346¹/₂   кв. ф.;  поэтому   искомое   число градусов будет =

 Вычислив это выражение, найдем 22¹/₂° или  22°30'.

3) Определить угол сектора, которого площадь равна квадрату его радиуса?

Так как площ. круга в ²²/₇ раз больше квадрата радиуса, то данный сектор в ²²/₇ раз меньше целого круга, и угол его в ²²/₇ раз меньше 360°, т.-е. угол = 360°: ²²/₇ = ^{360° •7} /₂₂  = 114°32'43 ⁷/₁₁ " .